中考数学函数及其图像

中考数学函数及其图像 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标 系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点 P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0； 点 P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0； 点 P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0； 点 P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点 P（x, y）在 x 轴上y 为 0，x 为任意实数。 点 P（x，y）在 y 轴上x 为 0，y 为任意实数。 3．点 P（x, y）坐标的几何意义： （1）点 P（x, y）到 x 轴的距离是| y |； （2）点 P（x, y）到 y 袖的距离是| x |； 22x  y （3）点 P（x, y）到原点的距离是 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： 1 (a,b) ；（1）点 P（a, b）关于 x 轴的对称点是 P （2）点 P（a, b）关于 x 轴的对称点是 P 2 (a,b) ； （3）点 P（a, b）关于原点的对称点是 二、函数的概念 P 3(a,b)； 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量 叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和 y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数， 自变量取值范围是使分母不为0 的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数， 自变量取值范围是使被开方数非负的 实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时， 如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意 义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 直线位置与 k，b 的关系： （1）k＞0 直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k＜0 直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b＞0 直线与 y 轴交点在 x 轴的上方； （4）b＝0 直线过原点； （5）b＜0 直线与 y 轴交点在 x 轴的下方； 2、二次函数 抛物线位置与 a，b，c 的关系： a  0  开口向上 a  0  开口向下 （1）a 决定抛物线的开口方向 （2）c 决定抛物线与 y 轴交点的位置： c0图像与 y 轴交点在 x 轴上方；c=0图像过原点；c0图像与 y 轴交点在 x 轴下方； （3）a，b 决定抛物线对称轴的位置：a，b 同号，对称轴在 y 轴左侧；b＝0，对称轴 是 y 轴； a，b 异号。对称轴在 y 轴右侧； 3、反比例函数： 4、正比例函数与反比例函数的对照表： 例题： 例 1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4） ，已知点P 到 x 轴的距离 是到 y 轴的距离 2 倍. ⑴求点 P 的坐标.； ⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。 分析：由点 P 到 x 轴的距离是到 y 轴的距离 2 倍可知：2|m|=4，易求出点 P 的坐标， 再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。 解：略 例 2、已知 a，b 是常数，且 y+b 与 x+a 成正比例.求证：y 是 x 的一次函数. 分析：应写出 y+b 与 x+a 成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义. 证明：由已知，有 y+b=k(x+a)，其中 k≠0. 整理，得 y=kx+(ka－b).① 因为 k≠0 且 ka－b 是常数，故 y=kx+(ka－b)是 x 的一次函数式. 例3、 填空： 如果直线方程ax+by+c=0中， a＜0， b＜0且bc＜0， 则此直线经过第________ 象限. acaa x 0,0 b.因为 a＜0，b＜0，所以bb ，又 bc＜0，分析：先把 ax+by+c=0 化为 b  ccac 即b＜0，故－b＞0.相当于在一次函数 y=kx+l 中，k=－b＜0，l=－b＞0，此直线与 y c 轴的交点(0，－b)在 x 轴上方.且此直线的向上方向与x 轴正方向所成角是钝角，所以此直 线过第一、二、四象限. k 例 4、 把反比例函数y=x与二次函数 y=kx2(k≠0)画在同一个坐标系里， 正确的是(). 答：选(D).这两个函数式中的 k 的正、负号应相同(图 13－110). 例 5、画出二次函数 y=x2-6x+7 的图象，根据图象回答下列问题： （1）当 x=-1，1，3 时 y 的值是多少？ （2）当 y=2 时，对应的 x 值是多少？ （3）当 x＞3 时，随 x 值的增大 y 的值怎样变化？ （4）当 x 的值由 3 增加 1 时，对应的 y 值增加多少？ 分析：要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把y=x2-6x+7 变形为 y=（x-3）2-2， 确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图． 解：图象略． 例 6、拖拉机开始工作时，油箱有油45 升，如果每小时耗油6 升． （1）求油箱中的余油量 Q（升）与工作时间 t（时）之间的函数关系式； （2）画出函数的图象． 答： （1）Q=45-6t． （2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t 的取值范围 0≤t≤7.5 决定是一条 线段，而不是直线．