中考数学函数及其图像

中考数学函数及其图像 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标 系内的点和有序实数对之间建立了一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征 （1）各象限内点的坐标有如下特征 点 P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0； 点 P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0； 点 P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0； 点 P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征 点 P（x, y）在 x 轴上y 为 0，x 为任意实数。 点 P（x，y）在 y 轴上x 为 0，y 为任意实数。 3．点 P（x, y）坐标的几何意义 （1）点 P（x, y）到 x 轴的距离是| y |； （2）点 P（x, y）到 y 袖的距离是| x |； 22x  y （3）点 P（x, y）到原点的距离是 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征 1 a,b ；（1）点 P（a, b）关于 x 轴的对称点是 P （2）点 P（a, b）关于 x 轴的对称点是 P 2 a,b ； （3）点 P（a, b）关于原点的对称点是 二、函数的概念 P 3a,b； 1、常量和变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量 叫做常量。 2、函数一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和 y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是 ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数， 自变量取值范围是使分母不为0 的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数， 自变量取值范围是使被开方数非负的 实数。 注意在确定函数中自变量的取值范围时， 如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意 义。 （2）函数值给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 直线位置与 k，b 的关系 （1）k＞0 直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k＜0 直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b＞0 直线与 y 轴交点在 x 轴的上方； （4）b＝0 直线过原点； （5）b＜0 直线与 y 轴交点在 x 轴的下方； 2、二次函数 抛物线位置与 a，b，c 的关系 a  0  开口向上 a  0  开口向下 （1）a 决定抛物线的开口方向 （2）c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c0图像与 y 轴交点在 x 轴上方；c0图像过原点；c0图像与 y 轴交点在 x 轴下方； （3）a，b 决定抛物线对称轴的位置a，b 同号，对称轴在 y 轴左侧；b＝0，对称轴 是 y 轴； a，b 异号。对称轴在 y 轴右侧； 3、反比例函数 4、正比例函数与反比例函数的对照表 例题 例 1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4） ，已知点P 到 x 轴的距离 是到 y 轴的距离 2 倍. ⑴求点 P 的坐标.； ⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。 分析由点 P 到 x 轴的距离是到 y 轴的距离 2 倍可知2|m|4，易求出点 P 的坐标， 再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。 解略 例 2、已知 a，b 是常数，且 yb 与 xa 成正比例.求证y 是 x 的一次函数. 分析应写出 yb 与 xa 成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义. 证明由已知，有 ybkxa，其中 k≠0. 整理，得 ykxka－b.① 因为 k≠0 且 ka－b 是常数，故 ykxka－b是 x 的一次函数式. 例3、 填空 如果直线方程axbyc0中， a＜0， b＜0且bc＜0， 则此直线经过第________ 象限. acaa x 0,0 b.因为 a＜0，b＜0，所以bb ，又 bc＜0，分析先把 axbyc0 化为 b  ccac 即b＜0，故－b＞0.相当于在一次函数 ykxl 中，k－b＜0，l－b＞0，此直线与 y c 轴的交点0，－b在 x 轴上方.且此直线的向上方向与x 轴正方向所成角是钝角，所以此直 线过第一、二、四象限. k 例 4、 把反比例函数yx与二次函数 ykx2k≠0画在同一个坐标系里， 正确的是. 答选D.这两个函数式中的 k 的正、负号应相同图 13－110. 例 5、画出二次函数 yx2-6x7 的图象，根据图象回答下列问题 （1）当 x-1，1，3 时 y 的值是多少 （2）当 y2 时，对应的 x 值是多少 （3）当 x＞3 时，随 x 值的增大 y 的值怎样变化 （4）当 x 的值由 3 增加 1 时，对应的 y 值增加多少 分析要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把yx2-6x7 变形为 y（x-3）2-2， 确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图． 解图象略． 例 6、拖拉机开始工作时，油箱有油45 升，如果每小时耗油6 升． （1）求油箱中的余油量 Q（升）与工作时间 t（时）之间的函数关系式； （2）画出函数的图象． 答 （1）Q45-6t． （2）图象略．注意这是实际问题，图象只能由自变量t 的取值范围 0≤t≤7.5 决定是一条 线段，而不是直线．