中考几何最值问题含答案

几何最值问题几何最值问题 一．选择题（共一．选择题（共 6 6 小题）小题） 1． （2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC 的边长为 6，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 BC 的中点，点 P 为 BD 上一点，则 PE+PC 的最小值为（） 3A．B．C．D．323 考点： 轴对称-最短路线问题． 分析： 由题意可知点 A、点 C 关于 BD 对称，连接 AE 交 BD 于点 P，由对称的性质可得， PA=PC，故 PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE 即为 PE+PC 的最小值． 解答： 解：∵△ABC 是等边三角形，点D 为 AC 的中点，点 E 为 BC 的中点， ∴BD⊥AC，EC=3， 连接 AE，线段 AE 的长即为 PE+PC 最小值， ∵点 E 是边 BC 的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE== ． =3， ∴PE+PC 的最小值是 3 故选 D． 点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键． 2． （2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B 到 x 轴的 距离分别为 10cm 和 40cm，B 点到 y 轴的距离为 30cm，现在在 x 轴、y 轴上分别有动点 P、 Q，当四边形 PABQ的周长最短时，则这个值为（） 50A．B．C．5050 考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． ﹣50D．50+50 专题： 压轴题． 分析： 过 B 点作 BM⊥y 轴交 y 轴于 E 点， 截取 EM=BE， 过 A 点作 AN⊥x 轴交 x 轴于 F 点， 截取 NF=AF，连接 MN 交 X，Y 轴分别为 P，Q 点，此时四边形 PABQ的周长最短， 根据题目所给的条件可求出周长． 解答： 解：过B 点作 BM⊥y 轴交 y 轴于 E 点，截取EM=BE，过A 点作 AN⊥x 轴交 x 轴于 F 点，截取 NF=AF，连接 MN 交 x，y 轴分别为 P，Q 点， 过 M 点作 MK⊥x 轴，过 N 点作 NK⊥y 轴，两线交于 K 点． MK=40+10=50， 作 BL⊥x 轴交 KN 于 L 点，过 A 点作 AS⊥BP 交 BP 于 S 点． ∵LN=AS= ∴KN=60+40=100． ∴MN==50． ． =40． ∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 ∴四边形 PABQ的周长=50+50． 故选 D． 点评： 本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质， 本题关键是找到何时四边形 的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长． 3． （2014 秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD 上分别找一 点 M、N，当△ AMN 周长最小时，∠MAN 的度数为（） 30°40°50°60°A．B．C．D． 考点： 轴对称-最短路线问题． 分析： 根据要使△ AMN 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作 出 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而 得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案． 解答： 解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N， 则 A′A″即为△ AMN 的周长最小值，作 DA 延长线 AH， ． ∵∠DAB=110°， ∴∠HAA′=70°， ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°， ∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″， ∴∠MAB+∠NAD=70°， ∴∠MAN=110°﹣70°=40°． 故选 B． 点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题， 涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的 外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N 的位置是解题关键． 4． （2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 OM、ON 上， 当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动， 矩形 ABCD 的形状保持不变， 其中 AB=2， BC=．运动过程中，当点 D 到点 O 的距离最大时，OA 长度为（） A．B．2C．D． 考点： 勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线． 分析： 取 AB 的中点， 连接 OE、 DE， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE， 利用勾股定理列式求出DE， 然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、 E、 D 三点共线时点 D 到点 O 的距离最大，过点A 作 AF⊥OD 于 F，利用∠ADE 的余弦 列式求出 DF，从而得到点F 是 OD 的中点，判断出AF 垂直平分 OD，再根据线段垂 直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD． 解答： 解：如图，取 AB 的中点，连接 OE、DE， ∵∠MON=90°， ∴OE=AE= AB= ×2=1， ∵三边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC=， 在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得，DE===2， 由三角形的三边关系得，O、E、D 三点共线时点 D 到点 O 的距离最大， 此时，OD=OE+DE=1+2=3， 过点 A 作 AF⊥OD 于 F，则 cos∠ADE= 即=， =， 解得 DF= ， ∵OD=3， ∴点 F 是 OD 的中点， ∴AF 垂直平分 OD， ∴OA=AD=． 故选 B． 点评： 本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助 线并判断出 OD 最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观． 5． （2015 鞍山一模） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE=1，长为的 线段 MN 在 AC 上运动，当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tan∠MBC 的值是（） A． 考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 分析： 根据题意得出作 EF∥AC 且 EF=，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN=， 此时四边形 BMNE 的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案． 解答： 解：作 EF∥AC 且 EF=，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN=，延长 DF 交 BC 于 P，作 FQ⊥BC 于 Q， 则四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ=∠ACB=45° ，可求得 FQ=EQ=1， ∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP， ∴△PFQ∽△PDC， B．C．1D． ∴ ∴ = = ， ， 解得：PQ= ， ∴PC= ， 由对称性可求得 tan∠MBC=tan∠PDC= = ． 故选：A． 点评： 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质， 得出 M，N 的位置是解 题关键． 6． （2015•江干区一模）如图，△ABC 中，CA=CB，AB=6，CD=4，E 是高线 CD 的中点， 以 CE 为半径⊙C．G 是⊙C 上一动点，P 是 AG 中点，则 DP 的最大值为