伟大的数学家

伟大的数学家——高斯 高斯 （1777 年 4 月 30 日—1855 年 2 月 23 日） ， 德国著名数学家、 物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数 学家，有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一， 和阿基米德、牛顿、欧拉并列，同享盛名。 【生平与贡献】 高斯 1777 年 4 月 30 日生于不伦瑞克的一个工匠家庭， 1855 年 2 月 23 日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资 助才进学校受教育。1795～1798 年在格丁根大学学习 1798 年转 入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从 1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯的成就遍及数学的各个领域， 在数论、 非欧几何、 微分几何、 超几何级数、 复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。 他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的 研究中也偏重于用数学方法进行研究。 1784 年，18 岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过 对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的 测量结果。 在这些基础之上， 高斯随后专注于曲面与曲线的计算， 并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。 其函数被命名为标准 正态分布（或高斯分布） ，并在概率计算中大量使用。 1785 年，在高斯 19 岁时，仅用尺规便构造出了 17 边形。并为 流传了 2000 年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重 要补充。1799 年，高斯完成里他的博士论文，这篇论文给出了 一个重要的代数定理：任意一个多项式都有（复数）根。 这结果称为“代数学基本定理” 。事实上在高斯之前有许多数学 家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。 高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一 生中一共给出了四个不同的证明。 1801 年，高斯的《算术研究》一书发表。本书总结了高斯的数 论研究，奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之 作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。这本书除了第七章 介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系 统的著作，高斯第一次介绍同余的概念，二次互反律也在其中。 1801 年，意大利的天文学家 Piazzi，发现在火星和木星间有一 颗新星。它被命名为谷神星。现在我们知道它是火星和木星的小 行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是行星， 有人说这是彗星。必须继续观察才能判决，但是 Piazzi 只能观 察到它 8 度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法 知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。高斯这时对这个问 是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯 自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可 以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预 测的地方出现。这个方法他当时没有公布——就是最小二乘 法。 1809 年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、 圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高 斯在天文学上的贡献大多在 1817 年以前，但他仍一直做着观察 的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其 他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数， 并研究级数的收敛问题，在 1812 年，他研究了超几何级数，并 且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。 1816 年左右,高斯得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函 数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现 椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1820 到 1830 年间， 高斯为了测绘汗诺华公国(高斯住的地方)的地图， 开始做测地的工作， 他写了关于测地学的书， 由于测地上的需要， 他发明了日观测仪。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲 面的几何性质作研究。 1827 年高斯出版了《关于曲面的一般研究》 ，全面系统地阐述了 空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论 后来由黎曼发展。在 1830 到 1840 年间，高斯和一个比他小廿七 岁的年轻物理学家-韦伯一起从事磁的研究，他们的合作是很理 想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的 兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方 法。1833 年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过 许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构 造了世界第一个电报机。 1835 年高斯在天文台里设立磁观测站， 并且组织磁协会发表研究结果， 引起世界广大地区对地磁作研究 和测量。1840 年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且 定出了地球磁南极和磁北极的位置。1841 年美国科学家证实 了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。 【几个故事】 幼年聪慧幼年聪慧 很多伟大的数学家在少年时就表现出数学方面的特别才能， 然而 高斯的早慧确是令人惊讶的。高斯是一对普通夫妇的儿子。他的 母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教 育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事 女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保 险公司的评估师。 当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的 事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学 会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天 赋。高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数 从 1 到 100 的求和。他所使用的方法是：对 50 对构造成和 101 的数列求和（1＋100，2＋99，3＋98„„） ，同时得到结果：5050。 这一年，高斯只有 9 岁。 非欧几何非欧几何 公元前 3 世纪，欧几里得从一些被认为是不证自明的事实出发， 通过逻辑演绎，建立第一个几何学公理体系－欧几里得几何学。 这个理论受到后世数学家的普遍称颂， 被公认为数学严格性的典 范，但人们感到欧氏几何中仍存在某种瑕疵，其中最使数学家们 关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设” （即平行公理） 。大 家普遍认为，这条公理所说明的事实(通过直线外一点能且仅能 作一条平行直线）并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它 似乎缺少作为一条公理的自明性。因此，尽管人们并不怀疑平行 公理本身，但却怀疑它作为公理的资格。 人们试图用其他公设来证明第五公设，但都以失败告终。到 了十九世纪二十年代， 俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第 五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行 公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前 四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果 这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。人 们知道，这其实就是数学中的反证法。但是，在他极为细致深入 的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑 上毫无矛盾的命题。例如，在这种几何里，三角形的内角和小于 180 度。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五 公设不能被证明。第二，在新的公理体系中