专题训练平行四边形中的动态问题

专题训练专题训练( (三三) )平行四边形中的动态问题平行四边形中的动态问题 班别班别姓名姓名 （教材（教材 P68P68 习题第习题第 1313 题的变式与应用）题的变式与应用） 【原题】(人教版八年级下册教材第 68 页第 13 题) 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm. 点 P 从点 A 出发，以 1cm/s的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s的速 度向点 B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开 始，使 PQ＝CD，分别需经过多少时间为什么 1 1．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点 E 是 BC 的中点．点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿AD 向点 D 运动；点Q 同时以每秒 2 个单位长度的速 度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 运动．点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动．求当运动 时间 t 为多少秒时，以点 P、Q、E、D 为顶点的四边形是平行四边形． 2 2．如图，A，B，C，D 为矩形 ABCD 的四个顶点，AB＝25cm，AD＝8cm，动点 P，Q 分别 从点 A，C 同时出发，点P 以 3cm/s的速度向点 B 移动，运动到点B 为止，点Q 以 2cm/s 的速度向点 D 移动． (1)P，Q 两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD (2)试问：P，Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 84 平方厘米． 3 3．如图，平行四边形 ABCD 中，AC＝6，BD＝8，点 P 从点 A 出发以每秒 1cm的速度沿 射线 AC 移动，点 Q 从点 C 出发以每秒 1cm的速度沿射线 CA 移动． (1)经过几秒，以 P，Q，B，D 为顶点的四边形为矩形 (2)若 BC⊥AC 垂足为 C，求(1)中矩形边 BQ 的长． 4 4．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm， 点 P 从点 A 出发以 1cm/s的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 2cm/s的速度 向点 B 运动，当点 Q 到达点 B 时，点 P 也停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒． (1)作 DE⊥BC 于 E，则 CD 边的长度为 10cm； (2)从运动开始，当 t 取何值时，四边形 PQBA 是矩形 (3)在整个运动过程中是否存在 t 值，使得四边形PQCD 是菱形若存在，请求出t 值；若 不存在，请说明理由． 备用图 5 5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、 CD 的中点． (1)求证：四边形 PMEN 是平行四边形； (2)请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形； (3)四边形 PMEN 有可能是矩形吗若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由． 参考答案 【例】(人教版八年级下册教材第 68 页第 13 题) 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm. 点 P 从点 A 出发，以 1cm/s的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s的速 度向点 B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开 始，使 PQ＝CD，分别需经过多少时间为什么 【解答】①设经过 ts时，四边形 PQCD 是平行四边形， ∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t， ∴DP＝CQ.∴24－t＝3t. ∴t＝6，即经过 6s 时，四边形 PQCD 是平行四边形，此时 PQ∥CD，且 PQ＝CD. ②设经过 ts时，PQ＝CD，即四边形 PQCD 是等腰梯形， ∵AP＝t，BQ＝26－3t， ∴t＝26－3t＋2，t＝7. 综上所述当 t＝6s或 7s时，PQ＝CD. 【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解． 1 1．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点 E 是 BC 的中点．点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿AD 向点 D 运动；点Q 同时以每秒 2 个单位长度的速 度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 运动．点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动．求当运动 时间 t 为多少秒时，以点 P、Q、E、D 为顶点的四边形是平行四边形． 1 解：由题意可知， AP＝t，CQ＝2t，CE＝ BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ 时，以点P、 2 Q、E、D 为顶点的四边形是平行四边形． 当 2t＜8，即 t＜4 时，点 Q 在 C、E 之间，如图甲．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ ＝CE－CQ＝8－2t， 由 6－t＝8－2t 得 t＝2. 当 82t16，且 t6，即 4t6 时，点 Q 在 B、E 之间，如图乙．此时，PD＝AD－AP ＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，由 6－t＝2t－8 得 t＝14. 3 ∴当运动时间为 2s或14s时，以点 P、Q、E、D 为顶点的四边形是平行四边形． 3 图甲图乙 2 2．如图，A，B，C，D 为矩形 ABCD 的四个顶点，AB＝25cm，AD＝8cm，动点 P，Q 分别 从点 A，C 同时出发，点P 以 3cm/s的速度向点 B 移动，运动到点B 为止，点Q 以 2cm/s 的速度向点 D 移动． (1)P，Q 两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD (2)试问：P，Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 84 平方厘米． 解：(1)设 P，Q 两点从出发开始到第 x 秒时，PQ∥AD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，即 AP∥DQ. ∵PQ∥AD， ∴四边形 APQD 是平行四边形． ∴AP＝DQ. ∴3x＝25－2x.解得 x＝5. 答：P，Q 两点从出发开始到第 5 秒时，PQ∥AD. (2)设 P，Q 两点从出发开始到第 a 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 84 平方厘米， ∵BP＝25－3a，CQ＝2a， ∴根据梯形面积公式得： 1(25－3a＋2a)·8＝84.解得 a＝4. 2 答：P，Q 两点从出发开始到第 4 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 84 平方厘米． 3 3．如图，平行四边形 ABCD 中，AC＝6，BD＝8，点 P 从点 A 出发以每秒 1cm的速度沿 射线 AC 移动，点 Q 从点 C 出发以每秒 1cm的速度沿射线 CA 移动． (1)经过几秒，以 P，Q，B，D 为顶点的四边形为矩形 (2)若 BC⊥AC 垂足为 C，求(1)中矩形边 BQ 的长． 解：(1)当 t＝7 秒时，四边形 BPDQ 为矩形． 理由如下：当 t＝7 秒时，PA＝QC＝7， ∵AC＝6， ∴CP＝AQ＝1. ∴PQ＝BD＝8. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，BD＝8，AC＝6， ∴AO＝CO＝3. ∴BO＝DO＝4. ∴OQ＝OP＝4. ∴四边形 BPDQ 为平形四边形