中考数学常考易错点：3等腰三角形与直角三角形

4 4. .3 3 等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形. . 易错清单易错清单 1.运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨 论思想的渗入. 【例 1】一直角三角形的两边长分别为3 和 4,则第三边的长为(). 【解析】本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边 4 既可以是直角 边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即 4 是斜边或直角边的两种情况,然后利 用勾股定理求解. 【答案】D 2.两类特殊三角形的组合运用. 【例 2】(2014·山东威海)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,∠ACB=90°, 将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为. 【解析】 先由折叠的性质得AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A,进而得出,∠B=∠BCD,求得=5,DE 为△ABC的中位线,得到DE的长,再在 Rt△ABC中,由勾股定理得到AC=8,即可得四边形 DBCE的周长. 【答案】∵沿DE折叠,使点A与点C重合, ∴AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A. ∴∠BCD=90°-∠DCE. 又∠B=90°-∠A, ∴∠B=∠BCD. ∴BD=CD=AD=AB=5. ∴DE为△ABC的中位线. 第 - 2 - 页 共 10 页 三好网中高级教师在线 1 对 1 辅导， 专注 K12 中小学在线一对一辅导， 高考辅导、 中考辅导， 老师质量高， 互动体验强，服务保障好，提分效果快，在家就能上课，先上课，满意在付费！ 以上资料来源于网络，如有异议，请添加 QQ:905622058，将有关问题进行反馈！衷心感谢！ ∵BC=6,AB=10,∠ACB=90°, ∴四边形DBCE的周长为BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18. 【误区纠错】 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是△ABC的 中位线关键. 3.勾股定理在折叠问题中的运用. 【例 3】(2014·湖北孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处, 连接DE,BE,若△ABE是等边三角形,则=. 【解析】过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,根据矩形的性质得出DC=AB,DC∥AB,∠ ABC=90°,设AB=AE=BE=2a,则BC==a,即MN=a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个 三角形的面积,即可得出答案. 【答案】过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N, ∵四边形ABCD是矩形, ∴DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°. ∴MN=BC. ∴EN⊥DC. ∵延AC折叠B和E重合,△AEB是等边三角形, ∴∠EAC=∠BAC=30°. 【误区纠错】 本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此 题的关键是求出两个三角形的面积. 名师点拨名师点拨 1.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断. 2.会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证明相关问题. 3.会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题. 4.会利用 HL 及其他方法来证明直角三角形全等. 提分策略提分策略 1.等腰三角形的多解问题. 因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内 和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况. 【例 1】若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为. 【解析】(1)若这个内角 恰好是顶角,则顶 角是 50°;(2)若这个内角是底 角,则顶角 =180°-2×50°=80°. 【答案】50°或 80° 【例 2】等腰三角形的周长为16,其一边长为 6,则另两边为. 【解析】当腰是 6 时,则另两边是 4,6,且 4+66,满足三边关系定理; 当底边是 6 时,另两边长是 5,5,5+56,满足三边关系定理. 故该等腰三角形的另两边为:6,4 或 5,5. 【答案】6,4 或 5,5 2.等腰三角形的性质与判定的运用. (1)通常用①利用线段的垂直平分线进行等线段转换 ,进而进行角度转换;②等边对等角说明 两个角相等. (2)要证明一个三角形是等腰三角形 ,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有①通 过等角对等边得两边相等;②通过三角形全等得两边相等;③利用垂直平分线的性质得两边相 等. (3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论,所以要 充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等. 【例 3】 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线 于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF. (1)求证:△ADE≌△BFE; (2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由. 【解析】先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个 三角形全等;由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰 三角形“三线合一”的性质可证明结论. 【答案】(1)∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE. ∵E是AB的中点, ∴AE=BE. ∴△ADE≌△BFE. (2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF. ∵∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE, ∴∠GDF=∠BFE. ∴GD=GF.由(1),得DE=EF, ∴EG⊥DF. 3.定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系. 只有对一件事情作出判定的语句才是命题 ,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题. 对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内 容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假. 【例 4】在下列命题中,其逆命题是真命题的是.(只填写序号) ①同旁内角互补,两直线平行; ②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等; ④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 【解析】①的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;②的逆命题:相等的两个角是直角,错 误;③的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但 2≠-2;④的 逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明C为直 角的对边,故错误. 【答案】① 专项训练专项训练 一、 选择题 1.(2014·江苏镇江外国语学校模拟)在△ABC中,∠C=90°,AC,BC的长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根,△ABC内一点P到三边的距离都相等,则PC为(). (第 2 题) 2.(2014·山东济南二模)如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E分别是AB,BC的中点,F在CA 的延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为(). A. 22 C. 18 二、 填空题 3. (2014·江苏大丰模拟)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为度. B. 20 D. 16