Adomian分解法和几个非线性方程的开题报告

精品文档---下载后可任意编辑 Adomian分解法和几个非线性方程的开题报告 Adomian分解法（Adomian decomposition ，简称ADM）是一种求解非线性微分方程的有效方法，由美国数学家George Adomian于1980年提出。该方法以解析方法为基础，通过将非线性微分方程分解为一系列线性或类线性的子问题，再对其进行递推求解得到原方程的解。 本文旨在介绍Adomian分解法的基本思想及其在几个常见非线性方程中的应用。 1. Adomian分解法基本思想 Adomian分解法的基本思想是将非线性微分方程转化为一系列线性或类线性的子问题，然后递推求解。具体步骤如下： 1）将非线性微分方程表示为一个算子方程L(u)=f(u)，其中L(u)是某个微分算子，u表示未知函数，f(u)是已知函数。 2）将L(u)根据一定的规则进行分解，得到一系列线性或类线性的子问题：L(u)=L1(u)+L2(u)+…+Ln(u)，其中n为分解次数，Li(u)表示第i个子问题。 3）对每个子问题Li(u)求解得到其近似解：ui。这里可以采纳解析方法、数值方法、微分方程组等多种方法。 4）将所有的子问题的近似解求和：u=u1+u2+…+un，得到原方程的近似解。 2. Adomian分解法在几个常见非线性方程中的应用 2.1 求解一阶非线性微分方程 考虑一阶非线性微分方程dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为已知函数。将其化为算子方程L(y)=f(x,y)，其中L(y)=dy/dx，然后将L(y)分解为一次项和零次项，即L(y)=Dy+Ky，其中Dy表示一次微分运算符，Ky即非线性项。根据Adomian分解法进行递推求解得到近似解： y=y0+U，其中y0为初值，U为一系列修正项。具体的，过程为： 1）将L(y)根据规则分解，得到Dy和Ky两个子问题。 2）对Dy求解得到其近似解y1。 3）用已知函数f(x,y)替换Ky中的y，得到近似的非线性项f(x,y1)，然后求解得到近似解y2。 4）根据修正项的递推关系式U=-A^-1(g(U))，得到修正项U。 最终得到近似解y=y0+U。 2.2 求解二阶非线性微分方程 考虑二阶非线性微分方程d2y/dx2+f(x,y)+g(x,y)(dy/dx)3=0。根据Adomian分解法进行递推求解得到近似解： y=y0+U，其中y0为初值，U为一系列修正项。具体的，过程为： 1）将二阶微分算子表示为L(y)=D2y+F(x,y,Dy)+G(x,y,Dy,D2y)，其中F和G分别为非线性项，D2y为二次微分运算符。 2）将L(y)根据规则分解，得到一次项和零次项，即L(y)=Dy+Ky，其中Ky=F+G(Dy)。 3）对Dy求解得到近似解y1。 4）用已知函数f(x,y)和已求解的y1替换Ky中的y和Dy，得到近似的非线性项f(x,y1)和g(x,y1)dy1/dx，然后求解得到近似解y2。 5）根据修正项的递推关系式U=-A^-1(g(U))，得到修正项U。 最终得到近似解y=y0+U。 2.3 求解PDE的非线性方程 考虑非线性波动方程u_tt=u_xx+f(x,u,u_t)，其中f(x,u,u_t)为已知函数。采纳Adomian分解法对其进行求解，步骤如下： 1）将PDE表示为一个算子方程L(u)=0，其中L(u)=u_tt-u_xx-f(x,u,u_t)。 2）将L(u)根据规则分解，得到一次项和零次项，即L(u)=Dtu+Dxu+Ku，其中Dtu和Dxu分别表示t和x方向的一次微分运算符，Ku为其他项。 3）分别对Dtu和Dxu求解得到近似解u1和u2。 4）用已知函数f(x,u1,u_t1)和已求解的u1、u_t1替换Ku中的u和u_t，得到近似的非线性项f(x,u1,u_t1)，然后求解得到近似解u2。 5）根据修正项的递推关系式U=-A^-1(g(U))，得到修正项U。 最终得到近似解u=u0+U。 3. 总结 在本文中，我们介绍了Adomian分解法的基本思想，以及其在几个常见非线性微分方程和PDE中的应用。Adomian分解法具有较好的应用效果和求解精度，可以用于解决许多实际问题，是一种重要的求解非线性微分方程的方法。