解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题 1、在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2b2 2c2，求cosC的最小值。 1 a2b2(a2b2) a b ca2b22ab1 2 【解析】由余弦定理知cosC ， 2ab2ab4ab4ab2 222 2、在ABC中，B  60 , AC 3，求AB2BC的最大值。 3、在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为 a,b,c，且a  b,sin A 3cos A  2sin B。 （1）求角C的大小； （2）求 ab 的最大值。 c   解析： （1）由sin A 3cos A  2sin B得2sin  A      2sin Bsin A ，则   sin B，因为a b, 则 33  A B，所以A  3  B，故A B  2 ,C  。 33 absin Asin B2     =sin Asin A= 3sin Acos A  2sinA  （2） 由正弦定理及 （1）得csinC363  所以当A 、  3 时， ab 取得最大值 2. c 4、△ABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a  bcosC csin B. (1)求B;(2)若b  2,求△ABC面积的最大值. 【答案】 5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且2asin A  (2a  c)sin B  (2c b)sin C. （1）求 A 的大小； （2）求sinBsinC的最大值. 解： 6、在ABC中，角A（1）求角B的大小；、B、C的对边分别为a,b,c，且满足( 2a c)BABC  cCBCA。 （2）若| BA BC | 6，求ABC面积的最大值。 答案： （1）( 2a c)cos B  bcosC，由正弦定理得( 2sin AsinC)cos B  sin BcosC, 2sin Acos B  sin(C  B)，即2sin AcosB  sin A，所以cosB  ? 2 ，即B 。 24 （2）因为| BA BC | 222 6，即|CA|6，即b 6，由余弦定理得 b  a c 2ac  2ac 2ac  (2 2)ac，即ac  3(22) S  123 2 3 acsin B ac  242 7、已知a  2cos x2 3sin x,1 ,b y, cosx，且a⫽b。 （1）将y表示成x的函数f (x)，并求f (x)的最 小正周期； （2）记f (x)的最大值为M，a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C对应的边长，若f  且a  2，求bc的最大值。 2答案： （1）由a⫽b得2cos x 2 3sin xcos x y  0,即   A   M， 2   y  2cos x2 3sin xcos x  cos2x3sin2x1 2sin 2x1 6  2 所以f (x)  2sin2x    1，所以函数 f (x)的最小正周期为。 6 （2）由（1）易得M 3，于是有f  222     A   M  3,即2sin  A 1 3，所以sin A  1，故A 。 663 2 22由余弦定理a b c 2bccosA得4 b c bc  2bcbc bc解得bc  4 8、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，不等式x cosC 4xsinC 6 0对于一切实数x恒成立。2 ? （1）求角C的最大值； （2）当角C取得最大值时，若ab  2，求c的最大值。 答案： （1）因为 cosC  0 1  cosC , C 2  16sin C 24cosC  0 2 22 max   3 2  ab 222（2）c  a b 2abcosC,由（1）得c  (ab) 3ab  43  1，所以c的最小值为 1. 2 