石头-沙子和水的故事数学版

石头石头- -沙子和水的故事沙子和水的故事( (数学版数学版) ) [ [转载转载] ]石头，沙子和水的故事（数学版）石头，沙子和水的故事（数学版） 一天，数学课上。一天，数学课上。 数学老师望着大家说：数学老师望着大家说： “今天我们不讲艰深的定理，也不做“今天我们不讲艰深的定理，也不做 复杂的计算。你们马上就要毕业了，这次我想和大家分享一复杂的计算。你们马上就要毕业了，这次我想和大家分享一 点自己的感悟。点自己的感悟。 ”” 说罢，老师转身在黑板上画了一个数轴，标上数字说罢，老师转身在黑板上画了一个数轴，标上数字 0 0，，1 1，，2 2，， 3 3……，问：……，问： “数轴上的数都写完了吗？”“数轴上的数都写完了吗？” “没有！“没有！ ”学生答道。”学生答道。 “还有哪些？”老师问。“还有哪些？”老师问。 “还有负数！“还有负数！ ”” “是的。“是的。 ”” 说着，老师又在数轴左侧依次标上说着，老师又在数轴左侧依次标上-1-1，，-2-2，，-3-3，……，接着，……，接着 问：问： “数轴上的数写完了吗？”“数轴上的数写完了吗？” “写完了！“写完了！ ”学生答。”学生答。 “真的吗？”老师反问。“真的吗？”老师反问。 接着，老师又在接着，老师又在 0 0 和和 1 1 之间写上之间写上 1/31/3，，1/21/2，，2/32/3，，4/54/5，……学，……学 生们这才恍然大悟，抢着说：生们这才恍然大悟，抢着说： “没写完！还有分数！“没写完！还有分数！ ”” “还有“还有 3/23/2，，4/34/3，，5/45/4，，7/47/4，……”，……” “还有负分数！“还有负分数！ ”” 老师都一一标上，表示肯定。老师都一一标上，表示肯定。 “我们把能写成分数形式的数叫做有理数。“我们把能写成分数形式的数叫做有理数。如果把所有的有如果把所有的有 理数也写上，这次写完了吗？”老师又问。理数也写上，这次写完了吗？”老师又问。 “应该写完了吧。“应该写完了吧。 ”学生们小声回答。”学生们小声回答。 老师似乎有不同意见，又在老师似乎有不同意见，又在 4/34/3 与与 3/23/2 之间写上根号之间写上根号 2 2，在，在 3/23/2 与与 7/47/4 之间写上根号之间写上根号 3 3，在，在 2/32/3 与与 4/54/5 之间写上（根号之间写上（根号 2 2）） /2 /2。。 学生们又上当了！学生们又上当了！ 还有无理数！还有无理数！ “那如果把无理数再填上呢？”老师仿佛要问个没完。“那如果把无理数再填上呢？”老师仿佛要问个没完。 学生们一个个盯着数轴，心想：有理数与无理数合起来就是学生们一个个盯着数轴，心想：有理数与无理数合起来就是 实数了，老师说过，数轴上的点与实数之间一一对应，除了实数了，老师说过，数轴上的点与实数之间一一对应，除了 实数还有什么呢？实数还有什么呢？ 学生们一筹莫展。学生们一筹莫展。 老师随手又画了一条与已知数轴垂直的数轴，说：老师随手又画了一条与已知数轴垂直的数轴，说： “加上一“加上一 条数轴，我们就进入了二维世界，数的家族里也添了一位新条数轴，我们就进入了二维世界，数的家族里也添了一位新 的成员——复数。的成员——复数。 ”” “太神奇了！“太神奇了！ ”有学生惊讶不已。”有学生惊讶不已。 “还能这样？”有学生愤愤不平。“还能这样？”有学生愤愤不平。 “如果再加上一条数轴，我们就进入了三维世界，是不是又“如果再加上一条数轴，我们就进入了三维世界，是不是又 有新的数了？”有学生大胆猜想。有新的数了？”有学生大胆猜想。 “想得不错！那样的数叫做三元数。正可谓：一个数轴定方“想得不错！那样的数叫做三元数。正可谓：一个数轴定方 向，两个数轴量天下，三个数轴度乾坤呐！向，两个数轴量天下，三个数轴度乾坤呐！ ”” “那是不是还有四元数、五元数、六元数？”学生追问道。“那是不是还有四元数、五元数、六元数？”学生追问道。 “当然！“当然！ ”老师自信地说道，”老师自信地说道， “留待以后你们去探究了。“留待以后你们去探究了。 ”” 最后，老师问：最后，老师问： “通过刚才这个事情，你们学到了什么？”“通过刚才这个事情，你们学到了什么？” 一个学生马上站起来回答：一个学生马上站起来回答： “数的家族是在不断扩大的。“数的家族是在不断扩大的。 ”” “对，数系在不断地扩充，但这仅仅是表面现象。“对，数系在不断地扩充，但这仅仅是表面现象。 ”老师点”老师点 评道。评道。 “你永远不知道生活的下一刻是什么，“你永远不知道生活的下一刻是什么，可能会有意想不到的可能会有意想不到的 精彩。精彩。 ”另一位同学补充道。”另一位同学补充道。 “由数系的扩充联想到了人生的变化以及不可预知，“由数系的扩充联想到了人生的变化以及不可预知，有一定有一定 深刻性！深刻性！ ”老师表示赞许，”老师表示赞许， “还有没有同学补充？”“还有没有同学补充？” 台下一片沉寂，同学们都望着老师，期待老师有一个非同寻台下一片沉寂，同学们都望着老师，期待老师有一个非同寻 常的答案。常的答案。 老师会说些什么呢？留给读者想象和补充吧！老师会说些什么呢？留给读者想象和补充吧！ 或许你已发觉这个故事似曾相识，没错，它改编自大家所熟或许你已发觉这个故事似曾相识，没错，它改编自大家所熟 知的“装石头，沙子和水的故事”知的“装石头，沙子和水的故事” ，该故事也有各种不同的，该故事也有各种不同的 版本，版本， 其寓意也有各种不同的言说，其寓意也有各种不同的言说， 以上算是其数学版本吧！以上算是其数学版本吧！ 可作为教师讲授数系知识的参考资料。可作为教师讲授数系知识的参考资料。 中国科技大学的王树和教授曾有精辟论述：有理数是米，无中国科技大学的王树和教授曾有精辟论述：有理数是米，无 理数是汤。有理数是米，无理数是汤，一会儿不想饿得慌。理数是汤。有理数是米，无理数是汤，一会儿不想饿得慌。 “装石头，沙子和水故事”的第一个版本：“装石头，沙子和水故事”的第一个版本： 一天，一位大学教授在给即将毕业的学生上最后一堂课。一天，一位大学教授在给即将毕业的学生上最后一堂课。 教授站在讲台上，指着讲桌上的铁桶和石块说：教授站在讲台上，指着讲桌上的铁桶和石块说： “我能够传“我能够传 授给你们的知识都讲完了，今天我们来做个实验。授给你们的知识都讲完了，今天我们来做个实验。 ”” 于是，教授把石块一一放进铁桶里。当铁桶里再也装不下一于是，教授把石块一一放进铁桶里。当铁桶里再也装不下一 块石头时，教授停了下来，问：块石头时，教授停了下来，问： “铁桶里现在是不是再也装“铁桶里现在是不是再也装 不下东西了？”不下东西了？” “是！“是！ ”学生答道。”学生答道。 “真的吗？”教授问。“真的吗？”教授问。 随后，他从桌子底下拿出了一小桶碎石，随手抓起一把，放随后，他从桌子底下拿出了一小桶碎石，随手抓起一把，放 在已装满石块的铁桶上面，在已装满石块的铁桶上面， 开始慢慢摇晃，开始慢慢摇晃， 然后又抓起一把，然后又抓起一把， 继续摇晃……过了一会儿，继续摇晃……过了一会儿，学生们看见一小桶碎石全装进了学生们看见一小桶碎石全装进了 铁桶里。铁