抽屉原理练习题

抽屉原理练习题 抽屉原理练习题 1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去 摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个 球？ 解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必 须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。 2．一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少 有 2 张牌有相同的点数？ 解：点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、 13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小王各 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1 张的话，它的 点数必为 1～13 中的一个，于是有 2 张点数相同。 3．11 名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四 类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必 有两个学生所借的书的类型相同。 证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、 Ｂ、Ｃ、Ｄ四种， 若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、 1 / 451 / 45 抽屉原理练习题 BD、 CD 六种。 共有 10 种类型， 把这 10 种类型看作 10 个“抽屉”， 把 11 个学生看作 11 个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入 哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相 同。 4．有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛， 如果没有平局，也 没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分 情况只有 1、2、3……49，只有49 种可能，以这49 种可能得分的 情况为 49 个抽屉，现有 50 名运动员得分，则一定有两名运动员得 分相同。 5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来 仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名 同学所拿的球种类是一致的？ 解题关键：利用抽屉原理２。 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜ ﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排 2 / 452 / 45 抽屉原理练习题 蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50 个同学看作苹果 50÷9 ＝5……5 由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的 球类是完全一致的。 6．某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四 组，则必有一组的女生多于2 人，又知参赛者中任何10 人中必有男 生，则参赛男生的人生为__________人。 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于 2 人，所以女生 至少有 4×2＋1＝9（人）；因为任意 10 人中必有男生，所以女生 人数至多有 9 人。所以女生有 9 人，男生有 55－9＝46（人） 7、 证明：从 1，3，5，……，99 中任选 26 个数，其中必有 两个数的和是 100。 解析：将这 50 个奇数按照和为 100，放进 25 个抽屉：（1， 99），（3，97），（5，95），……，（49 ，51）。根据抽屉原 理，从中选出 26 个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两 个数的和即为 100。 3 / 453 / 45 抽屉原理练习题 8.某旅游车上有 47 名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如 果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果， 那么乘客中有______人带苹果。 解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹 果的乘客， 所以不带苹果的乘客恰有一名， 所以带苹果的就有 46 人。 9.一些苹果和梨混放在一个筐里， 小明把这筐水果分成了若干 堆，后来发现无论怎么分， 总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水 果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果 分成了_______堆。 解析： 要求把其中两堆合并在一起后， 苹果和梨的个数一定是偶 数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹 果和梨，奇偶可能性有4 种：（奇，奇）， （奇，偶）， （偶，奇）， （偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5 筐。 10. 有黑色、白色、蓝色手套各 5 只（不分左右手），至少要 拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有 两双是同颜色的。 4 / 454 / 45 抽屉原理练习题 解析：考虑最坏情况，假设拿了 3 只黑色、1 只白色和 1 只蓝 色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定 会有两双同颜色的，所以至少要那 6 只。 11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有 两个数,这两个数中大数不超过小数的 1.5 倍. 证明:把前 25 个自然数分成下面 6 组: 1; ① 2,3; ② 4,5,6; ③ 7,8,9,10; ④ 11,12,13,14,15,16; ⑤ 17,18,19,20,21,22,23, ⑥ 因为从前 25 个自然数中任意取出 7 个数,所以至少有两个数取 自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数 的 1.5 倍. 5 / 455 / 45 抽屉原理练习题 12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有 13 张，现在从中任 意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4 张牌是同一种花色的？ 解析：根据抽屉原理，当每次取出 4 张牌时，则至少可以保障 每种花色一样一张，按此类推，当取出12 张牌时，则至少可以保障 每种花色一样三张，所以当抽取第13 张牌时，无论是什么花色，都 可以至少保障有 4 张牌是同一种花色，选 B。 13．从 1、2、3、4……、12 这 12 个自然数中，至少任选几 个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？ 【解析】 在这 12 个自然数中， 差是 7 的自然树有以下 5 对：｛12， 5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有2 个不能 配对的数是｛6｝｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了 7 个抽屉。只 要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 7。这 7 个抽屉 可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝ ｛7｝，显然从7 个抽屉中取 8 个数，则一定可以使有两个数字来源 于同一个抽屉，也即作差为 7，所以选择 D。 15．某幼儿班有 40 名小朋友，现有各种玩具 122 件，把这些玩 具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4 件或 4 件以上的玩具？ 6 / 456 / 45 抽屉原理练习题 分析与解：将 40 名小朋友看成 40 个抽屉。今有玩具 122 件， 122=3×40＋2。应用抽屉原理 2，取 n＝40，m＝3，立即知道： 至少有一个抽屉中放有 4 件或 4 件以上的玩具。也就是说，至少会 有一个小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩具。 16．一个布袋中有 40 块相同的木块，其中编上号码 1，2，3， 4 的各有 10 块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少 有 3 块号码相同的木块？ 分析与解：将1，2，3，4 四种号码看成 4 个抽屉。要保证有一