用射影面积法求二面角在高考中的妙用

用用射射影影面面积积法法求求二二面面角角在在高高考考中中的的妙妙用用 广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码 530007） 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国 各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角 的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明 这个方法在解题中的妙用，以飨读者！ 定理定理已知平面已知平面内一个多边形的面积为内一个多边形的面积为 S S，它在平面，它在平面内的射影图形的面积为内的射影图形的面积为S，平面，平面和平面和平面所所 S 成的二面角的大小为成的二面角的大小为，则，则cos  . . S 本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证. 证明：如图，平面内的△ABC 在平面的射影为△A BC，作AD  ABC 于 D，连结 AD.  AA  于A ，D， AD在内的射影为A D. 又 AD  BC,BC ， A D  BC（三垂线定理的逆定理）. ADA 为二面角—BC— 的平面角. 设△ABC 和△A BC的面积分别为 S 和S，，ADA ，则S BDC  11 BC  AD,S BC  A D. 22 1 BC A D A D 2 S . cos 1 ADS BC AD 2 典题妙解典题妙解 下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例例 1 1 如图如图, , 已知正方体已知正方体 ABCDABCD——A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E 是是 A AA A1 1棱的中点，则棱的中点，则 面面 BE CBE C1 1与面与面 ACAC 所成的二面角的大小为所成的二面角的大小为( () ) D D1 1C C1 1 A A1 1B B1 1 E DC 212 A.45B. arctan C. arctan D. arccos 423 解：连结解：连结 ACAC，则△，则△EBC 1在面 在面 ACAC 内的射影是△内的射影是△ABCABC，设它们的，设它们的 面积分别为面积分别为 S S 和和S，所成的二面角为，所成的二面角为. . 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2 2，则，则 AB = BC = 2AB = BC = 2，， A AB B BE 5,BC 1  2 2,EC 1 (2 2)212 3. D D1 1C C1 1 A A1 1B B1 1 S S 2  arccos . . 3 故答案选故答案选 D.D. 例例 2 2（（0404 北京）如图北京）如图, , 已知四棱锥已知四棱锥 S S——ABCDABCD 的底面是边长为的底面是边长为 1 1 的正方形的正方形, SD, SD⊥面⊥面 AC, SB =AC, SB = E3D. . C (1)(1) 求证求证:BC:BC⊥⊥SC;SC; (2)(2) 求面求面 ASDASD 与面与面 BSCBSC 所成的二面角的大小所成的二面角的大小; ; MM A AB B (3)(3) 设棱设棱 SASA 的中点为的中点为 M,M, 求异面直线求异面直线 DMDM 与与 SBSB 所成的角的大小所成的角的大小. . （1）证明：SD⊥面 AC， DC C SC 在面 AC 内的射影是 SD. 又四边形 ABCD 是正方形，BC 面 AC，  BC⊥SC（三垂线定理）. A AB B （2）解：SD⊥面 AC，CD 面 AC，SD  CD. 又四边形 ABCD 是正方形，AD  CD. 而AD SD  D，CD⊥面 ASD. 又 AB∥CD，BA⊥面 ASD. △ SBC 在面 SAD 的射影是△ SAD，设它们的面积分别为 S 和S ，所成的二面角为. S S SCB  90,BC 1,SB 3,SC SB2 BC22,SD SC2CD21. 12 11S 2 S BC SC ,S ADSD ,cos. 故. 2222S24 所以面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小为 （3）解：取 AB 的中点 E，连结 DE、ME.  AM  MS, AE  EB，ME∥SB.  . 4 异面直线 DM 与 SB 所成的角就是DME，设DME  . 135 ME SB ,DE AD2 AE2 ，， 222 12 SA AD2 SD22,MD SA  . . 22 MD2 ME2 DE2 cos 0. . 故 . 2MDME2 所以异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小为 S S MM DC C A AB B  . 2 解法二：解法二：  BA面 SAD， SB 在面 SAD 内的射影是 SA. 又 AD  SD 1, AM  MS,DM  SA. . 面 SAD，DM  SB（三垂线定理）.  所以异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小为. 2 而DM 例例 3 3 （（0404 浙江）如图，已知正方形浙江）如图，已知正方形 ABCDABCD 和矩形和矩形 ACEFACEF 所在的平面所在的平面 互相垂直，互相垂直，AB =AB = 2 ，，AF = 1AF = 1，，MM 是线段是线段 EFEF 的中点的中点. . (1)(1) 求证：求证：AMAM∥平面∥平面 BDEBDE；； (2)(2) 求证：面求证：面 AEAE⊥平面⊥平面 BDFBDF；； (3)(3) 求二面角求二面角 A A——DFDF——B B 的大小的大小. . 证明：（1）设AC  E E MM F F C CB B BD  O，则AO  1 EF， 2 1 AC，连结 OE. 2 D DA A E E MM F F C CB B 四边形 ACEF 是矩形，EM  EM  AO，EM∥AO. 四边形 AOEM 是平行四边形，从而 AM∥EO. O 又 EO 平面 BDE，  AM∥平面 BDE. D DA A （2）四边形 ABCD 是正方形，BD  AC. 又正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，EC  AC，面 BD面 AE= AC ， EC  面BD，从而EC  BD. 而AC  EC  C，BD  面AE.  BD 平面 BDF， 面 AE⊥平面 BDF. （（3 3）解：）解： BA  AD,BA  AF, AD  AF  A，，BA  面ADF. . △ △ BDF BDF 在面在面 ADFADF 上的射影是上的射影是△ △ ADFADF，设它们的面积分别为，设它们的面积分别为 S S 和和S ，所成的二面角为 ，所成的二面角为. . AB = AB = 2 ，，AF = 1AF = 1，， AD  2,BD  2