巧添辅助线证三角形全等上

初中数学巧添辅助线证三角形全等（上）（上） 编稿 1. 1. 截长补短截长补短 证线段的和差问题， 常常借助于全等三角形的对应边相等， 将不在一条直线上的两条 （或 多条）线段转化到同一直线上。可以通过翻转构造全等三角形。在无法直接证明的情况下， 利用“截长补短”作辅助线的方法，常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。 截长：截长： 在较长线段上截取与其他两条线段中一条相等的一段， 然后证明剩余的线段与另 一条线段相等。 补短：补短： （1）延长较短的线段使其等于较长线段，证明延长出的线段等于另一条线段； （2）延长较短的线段使其等于两条较短线段和，证明线段和等于较长线段。 截长补短的基本模型：截长补短的基本模型： 例：在等腰直角△ACB 中，AD 为∠BAC 的角平分线，交 BC 于点 D。 求证：AB=AC+CD。 方法一：在 AB 边上取 AE=AC，连接 DE，证 CD=BE。 刘群丽一校杨雪二校安宁审核杨国勇 方法二：延长 AC 到 E，使 AE=AB，连接 ED，证 CD=CE。 注意：注意：适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目。通常作出辅助线后都能求证全 等三角形。 2. 2. 倍长中线倍长中线 把过中点的线段延长一倍，从而出现等量线段，连接已知端点和倍长之后的端点， 构造 8 字形，从而得出全等三角形。 倍长中线的基本模型倍长中线的基本模型: : △ABC 中 AD 是中线 方法一：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，可证△ADC≌△EDB。 方法二： M为AB边任意一点， 延长MD到N， 使DN=MD， 连接CN， 可证△BMD≌△CND。 方法三：CF⊥AD 与点 F，延长FD 至 E，使FD=DE，连接BE，可证△BED≌△CFD。 口诀：口诀：遇中点，想倍长；找关系，证全等。 倍长中线结论：“8”字形两个对边位置关系为平行，数量关系为相等。 例题例题以直角△ABC 的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt△ACE， ∠BAD=∠CAE=90°，连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点，则 AM 与 DE 的位置关系 是，线段 AM 与 DE 的数量关系是。 解析：解析：ED=2AM，AM⊥ED。延长 AM 到 G，使 MG=AM，连 BG，△AMC≌△GMB， 再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM， ∠BAG=∠EDA， 再延长 MG 交 DE 于 H， 因为∠BAG+∠DAH=90°， 所以∠HDA+∠DAH=90° 这样就证明了 AM⊥ED； 答案答案： AM⊥ED ，ED=2AM； 证明：延长 AM 到 G，使 MG=AM，连 BG，延长 MA 交 DE 于 H。 在△AMC 和△GMB 中， AM  CM  AMC  GMB CM  BM  ∴△AMC≌△GMB ∴AC=BG，∠MAC=∠MGB ∴AC∥BG ∴∠ABG+∠BAC=180° 又∵∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠ABG=∠DAE。 再证：△DAE≌△ABG ∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA。 ∵∠BAG+∠DAH=90°， ∴∠HDA+∠DAH=90°， ∴AM⊥ED； 点拨：点拨：遇中点想倍长，掌握倍长中线模型。 【总结提高】【总结提高】 “截长补短”和“倍长中线”是在现阶段常用的辅助线的方法，其目的是要把分散的、没有 联系的条件，通过辅助线使其产生联系， 进而进行求证。在使用这两种方法时一定要注意其 要点： 截长补短常用于求证线段的和、 差、 倍、 分情况； 倍长中线常在有过中点的线段中使用。 例题例题操作：如图，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN。 探究：线段 BM、MN、NC 之间的关系，并加以证明。 解析：解析：延长 AC 至 M，使CM1=BM，连接DM1。根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1 从而得到 BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC+CM1=NC+MB。 在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明。 答案：答案：BM+CN=MN 证明：如图，延长 AC 至 M1，使 CM1=BM，连接 DM1 由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， ∵BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1 ∴∠MDM1=（120°﹣∠MDB）+∠M1DC=120°， 又∵∠MDN=60°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN，∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB。 点拨：点拨：此题主要考查等边三角形、等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识； 正确 作出辅助线是解答本题的关键。通过辅助线要把分散的线段联系到一起。 （答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟） 一、选择题 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的 面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为（） A. 11B. 5.5C. 7D. 3.5 2. 如图，在△ABC 中，AB＞AC，AD⊥BC 于 D，P 在 AD 上且为 A 与 D 之间的任一点， 则 PB﹣PC 与 AB﹣AC 的大小关系为（） A. PB﹣PC＞AB﹣ACB. PB﹣PC=AB﹣AC C. PB﹣PC＜AB﹣ACD. 无法判断 二、填空题 3. 如图， 在△ABC中， AB=7， AC=8， 则第三条边BC上中线AD的取值范围是________。 4. 如图，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以 D 为顶点作一个 60°角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则△AMN 的 周长为_________。 5. 如图， 在△ABC 中， AD 平分∠BAC， AB=AC﹣BD， 则∠B： ∠C 的值是_________。 三、解答题 6. 如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并 证明你的结论。 7. 如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. A BD EC 8. 如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠C=180°。 9. 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。 已知：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且∠BAE=∠CDE。 求证：AB=CD。 分析： 证明两条线段相等， 常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性 质，观察本题中要证明的两条线段， 它们不在同一个三角形中， 且它们所在的两个三角形也 不全等。因此，要证 AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。 现给出如下三种添加辅助线的