相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

实用文案 、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行）（不平行） （二）8字型、反8字型 AB B （蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 标准文档 实用文案 （五）一线三直角型: （六）双垂 型: 标准文档 实用文案 相似三角形判定的变化模型 标准文档 实用文案 D D A, A, / / c BC ■ 一线三直角的 标准文档 实用文案 1.如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0,BE//CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA 2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，/ADE= ZB=a,DE交AC于 点E.下列结论： ①AD 2=AE ?AB:②3.6WAEV10;③当AD=2 Ji」.时，△ABD^/DCE; ④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5. 其中正确的结论是 ________________ .（把你认为正确结论的序号都填上） 3.已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，/DEB= /ABC. 求证：(1)DB2=DE ?DA; (2)/DCE= ZDAC. 4.已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC,AD丄BC于D,CG//AB,BG分别交AD、AC于E、F.求证: 5.如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB 7FC. 标准文档 实用文案 6.已知：如图，在Rt△ABC中，/C=90 °,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PD丄AB,交边AC于点D(点D 与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且/EPD= ZA .设A、P两点的距离为x, △ BEP的面积为y. (1)求证：AE=2PE; (2)求y关于x的函数解析式, 并写出它的定义域; 求厶BEP的面积. 7.如图，在△ABC中，/A=60 ,BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE. 8.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且/DAE=120 标准文档 实用文案 (1)图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似； 标准文档 实用文案 9.（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，/DAE=45° .求证 : 10.如图，在等边厶ABC中，边长为6,D是BC边上的动点，/EDF=60 （1）求证：△BDEs/CFD; 求BE的长. 11. （1）在AABC中，AB=AC=5,BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合）， 且保持/ APQ=ZABC. ① 若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长； ②若BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且 保持 标准文档 实用文案 /APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果） 标准文档 实用文案 13.已知梯形ABCD中，AD //BC,且ADVBC,AD=5,AB=DC=2. (1)如图，P为AD上的一点，满足/BPC=ZA，求AP的长； (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/BPE= ZA,PE交直线BC于点E,同时 交直线DC于点 Q. ① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围； ② 当CE=1时，写出AP的长.(不必写解答过程) 14.如图，在梯形ABCD中，AD //BC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作ZEMF= ZB，射线 ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF. (1)求证：△MEF s/BEM; (2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； (3)若EF丄CD, 求BE的长. 标准文档 实用文案 15.已知在梯形ABCD中，AD //BC,AD V BC,且BC=6,AB=DC=4，点E是AB的中点. (1)如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：△BEPs/CPD; (2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合)，且满足/EPF= ZC,PF交直线CD于点F，同时 交直线AD于点 M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 16.如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作 等边△EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N, (1)写出图中与△BEF相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似； (3)设BE=x,MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 的面积. x的取值范围; 17.如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3，点P是AD上的一个动点(与A、D不重合)，过点P 作PE丄CP交直线AB于点E,设PD=x,AE=y, (1)写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)如果△PCD的面积是厶AEP面积的4倍，求CE的长； (3)是否存在点 卩，使厶APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论. 标准文档 实用文案 18.如图，在Rt△KBC中，/C=90 ° ,AB=5，-丁讦二上，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点, 4 丄DE交射线AC于点F. (1)求AC和BC的长； (2)当EF//BC时，求BE的长； (3)连接EF,当厶DEF和△ABC相似时，求BE的长. 19.如图，在Rt△KBC中，/C=90 ° ,AC=BC,D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点(与点C不重合)，DF丄 DE,DF与射线BC相交于点F. (1)如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF; (2)如果AD:DB=m，求DE:DF的值； (3)如果AC=BC=6,AD:DB=1:2，设AE=x,BF=y, ① 求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ② 以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由. 标准文档 DF 实用文案 20.如图，在△ABC中，/C=90 ° ,AC=6,X^b-~，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/ 4 DEF=90 ° ,EF交射线BC于点F.设BE=x,ABED的面积为y (1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长； (3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积. 4 21.如图，在梯形ABCD中，AB //CD,AB=2,AD=4,tanC=「，/ADC= ZDAB=90 ° ,P是腰BC上一个 动点(不含点B、C),作PQ丄AP交CD于点Q.(图1) (1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当PQ=DQ时，求BP的长