相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

实用文案 、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行）（不平行） （二）8字型、反8字型 AB B （蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 标准文档 实用文案 （五）一线三直角型 （六）双垂 型 标准文档 实用文案 相似三角形判定的变化模型 标准文档 实用文案 D D A, A, / / c BC ■ 一线三直角的 标准文档 实用文案 1.如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0,BE//CD交CA延长线于E.求证OC2OA 2.如图，在△ABC中，ABAC10，BC16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，/ADE ZBa,DE交AC于 点E.下列结论 ①AD 2AE AB②3.6WAEV10;③当AD2 Ji」.时，△ABD/DCE; ④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5. 其中正确的结论是 ________________ .（把你认为正确结论的序号都填上） 3.已知如图，△ABC中，点E在中线AD上，/DEB /ABC. 求证1DB2DE DA; 2/DCE ZDAC. 4.已知如图，等腰△ABC中，ABAC,AD丄BC于D,CG//AB,BG分别交AD、AC于E、F.求证 5.如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证FD2FB 7FC. 标准文档 实用文案 6.已知如图，在Rt△ABC中，/C90 ,BC2,AC4,P是斜边AB上的一个动点，PD丄AB,交边AC于点D点D 与点A、C都不重合，E是射线DC上一点，且/EPD ZA .设A、P两点的距离为x, △ BEP的面积为y. 1求证AE2PE; 2求y关于x的函数解析式, 并写出它的定义域; 求厶BEP的面积. 7.如图，在△ABC中，/A60 ,BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证BC2DE. 8.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且/DAE120 标准文档 实用文案 1图中有哪几对三角形相似请证明其中的一对三角形相似； 标准文档 实用文案 9.（已知如图，在Rt△ABC中，ABAC，/DAE45 .求证 10.如图，在等边厶ABC中，边长为6,D是BC边上的动点，/EDF60 （1）求证△BDEs/CFD; 求BE的长. 11. （1）在AABC中，ABAC5,BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合）， 且保持/ APQZABC. ① 若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长； ②若BPx,CQy,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且 保持 标准文档 实用文案 /APQ90度.当CQ1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果） 标准文档 实用文案 13.已知梯形ABCD中，AD //BC,且ADVBC,AD5,ABDC2. 1如图，P为AD上的一点，满足/BPCZA，求AP的长； 2如果点P在AD边上移动点P与点A、D不重合，且满足/BPE ZA,PE交直线BC于点E,同时 交直线DC于点 Q. ① 当点Q在线段DC的延长线上时，设APx,CQy，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围； ② 当CE1时，写出AP的长.不必写解答过程 14.如图，在梯形ABCD中，AD //BC,ABCDBC6,AD3.点M为边BC的中点，以M为顶点作ZEMF ZB，射线 ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF. 1求证△MEF s/BEM; 2若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； 3若EF丄CD, 求BE的长. 标准文档 实用文案 15.已知在梯形ABCD中，AD //BC,AD V BC,且BC6,ABDC4，点E是AB的中点. 1如图，P为BC上的一点，且BP2.求证△BEPs/CPD; 2如果点P在BC边上移动点P与点B、C不重合，且满足/EPF ZC,PF交直线CD于点F，同时 交直线AD于点 M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BPx,DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 16.如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作 等边△EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N, 1写出图中与△BEF相似的三角形; 2证明其中一对三角形相似； 3设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 的面积. x的取值范围; 17.如图所示，已知矩形ABCD中，CD2,AD3，点P是AD上的一个动点与A、D不重合，过点P 作PE丄CP交直线AB于点E,设PDx,AEy, 1写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； 2如果△PCD的面积是厶AEP面积的4倍，求CE的长； 3是否存在点 卩，使厶APE沿PE翻折后，点A落在BC上证明你的结论. 标准文档 实用文案 18.如图，在Rt△KBC中，/C90 ,AB5，-丁讦二上，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点, 4 丄DE交射线AC于点F. 1求AC和BC的长； 2当EF//BC时，求BE的长； 3连接EF,当厶DEF和△ABC相似时，求BE的长. 19.如图，在Rt△KBC中，/C90 ,ACBC,D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点与点C不重合，DF丄 DE,DF与射线BC相交于点F. 1如图2，如果点D是边AB的中点，求证DEDF; 2如果ADDBm，求DEDF的值； 3如果ACBC6,ADDB12，设AEx,BFy, ① 求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ② 以CE为直径的圆与直线AB是否可相切若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由. 标准文档 DF 实用文案 20.如图，在△ABC中，/C90 ,AC6,Xb-，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/ 4 DEF90 ,EF交射线BC于点F.设BEx,ABED的面积为y 1求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 2如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长； 3如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积. 4 21.如图，在梯形ABCD中，AB //CD,AB2,AD4,tanC「，/ADC ZDAB90 ,P是腰BC上一个 动点不含点B、C,作PQ丄AP交CD于点Q.图1 1求BC的长与梯形ABCD的面积； 2当PQDQ时，求BP的长