必修五基本不等式归纳学生版

基本不等式基本不等式 知识点：基本不等式知识点：基本不等式  1．如果a,bR ab  2 ab（当且仅当时取“=”号）.  ab 2．如果a,bRab   （ 当且仅当  2   2 时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ① 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ① 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 说明：利用基本不等式求条件最值的方法 (1)消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大(小)值问题． (2)配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件． (3)构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式． 类型一：利用（配凑法）求最值类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求x 1 的最小值；（x  0） x1 （2）若x  0,y  0,2x y  4,求xy的最大值 a,b是正数且ab  4，求3a 2b的最小值. （3） （4）若实数 a,b 满足 a+b=2,求 3a+3b的最小值。 （5）设 x,y 满足 x+4y=40,且x0,y0 则 lgx+lgy 最大值是（） （6）已知 lgx+lgy＝1， 类型二：含类型二：含“1”“1”的式子求最值的式子求最值 2．已知且 ，求的最小值. 5 52 2 的最小值是______. x xy y ，求 变式 1：若x  0, y  0,x y=1 变式 2：求函数y= 23 的最小值 xy 14 (0  x )的最小值 22sin xcos x2 类型三：求分式的最值问题类型三：求分式的最值问题 x2 x1 3. 已知x  0，求的最小值 x x231 (x )的值域 变式 1：求函数y  x12 变式 2：求函数y  x25 x 4 2 的最小值 类型四：求负数范围的最值问题类型四：求负数范围的最值问题 4.x  0,求x的最大值 变式 1：求f (x)  x 1 x 4 (x  0)的值域 x x22x1 的值域变式2：求f (x)  x 变式 3：已知x  类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值 例 5.若正数 a,b 满足ab  ab3,则 （1）ab 的取值范围是 （2）a+b 的取值范围是 变式 1：若 x，y0 满足2x+y+6  xy,则xy的最小值是 变式 2：已知 x，y0 满足x+2y+2xy  8,则x+2y的最小值是 补充：正数a,b满足a b 1 ab，则3a  2b的最小值是______ 51 ,求函数y=4x2的最大值 44x5 类型六：求参数范围类型六：求参数范围 运用基本不等式求参数取值范围的方法 (1)若已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式． (2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数的最值(恒成立问题)，若 a≤f(x)恒成立，则 a≤f(x)min；若 a≥f(x)恒成立，则 a≥f(x)max.而求函数的最值时可能用到基本不等式． x2＋ax＋11 例 1： 已知函数 f(x)＝(a①R R)， 若对于任意的 x①N N*， f(x)≥3 恒成立， 则 a 的取值范围是________． x＋1 a 2.已知函数 f(x)＝4x＋ (x0，a0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________． x 11k 3．设 a0，b0，且等式 ＋ －＝0 恒成立，求实数 k 的最小值． aba＋b x 4.若对任意 x＞0， 2 ≤a 恒成立，求 a 的取值范围． x ＋3x＋1 作业作业 1、设 x,y 为正数, 则(x y)( 1 x 4 )的最小值为( ) y A. 6B.9C.12D.15 ab 2、若a,b为实数，且ab  2，则3  3的最小值是（） （A）18 （B）6（C）2 3（D）243 3. 设正数x、y满足2x y  20，则lgxlg y的最大值是（） (A)50(B)20(C) 1lg5(D)1 4. 已知 a,b为正实数，且a  2b 1,则 1 a  1 b 的最小值为（） A．4 2B．6C．3－2 2D．3+2 2 5. 设a、bR,且a  b,a b  2,则必有() 1 ab  a2 b2a2 2 (B)ab 1 b2 (A) 2 a2 (C)ab  b2 2 1 (D) a2b2 2  ab 1 6．下列结论正确的是() A.当x 0且x 1时，lgx 1 lgx  2B.当x  0时，x  1 x  2 C．当x  2时，x 1 x 的最小值为 2D.0 x  2时，x 1 x 无最大值 7. 若a  b 1，P  lgalgb，Q  1ab 2 (lgalgb)，R  lg 2 ，则下列不等式成立的是（ (A)R  P  Q(B)P  Q  R(C)Q  P  R(D)P  R  Q 8. 函数y  x 1 x1 (x  1)的最小值是． 9. 已知两个正实数x、y满足关系式x  4y  40, 则lg x  lg y的最大值是____________. 10. 已知0  x  1 2 ，则x(12x)的最大值是 11.已知x, y R，且x  4y 1，则x y的最大值________ 12. 若正数a,b满足ab  ab4,，则ab的取值范围是 ） 13. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度  （千米/小时）之间的函数关系为：y  920 ( 0)。 231600 （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （精确到0.1千辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10 千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？