必修五基本不等式归纳学生版

基本不等式基本不等式 知识点基本不等式知识点基本不等式  1．如果a,bR ab  2 ab（当且仅当时取“”号）.  ab 2．如果a,bRab   （ 当且仅当  2   2 时取“”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件一正二定三取等一正二定三取等。 ① 一正函数的解析式中，各项均为正数； ① 二定函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ① 三取等函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 说明利用基本不等式求条件最值的方法 1消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大小值问题． 2配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件． 3构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式． 类型一利用（配凑法）求最值类型一利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求x 1 的最小值；（x  0） x1 （2）若x  0,y  0,2x y  4,求xy的最大值 a,b是正数且ab  4，求3a 2b的最小值. （3） （4）若实数 a,b 满足 ab2,求 3a3b的最小值。 （5）设 x,y 满足 x4y40,且x0,y0 则 lgxlgy 最大值是（） （6）已知 lgxlgy＝1， 类型二含类型二含“1”“1”的式子求最值的式子求最值 2．已知且 ，求的最小值. 5 52 2 的最小值是______. x xy y ，求 变式 1若x  0, y  0,x y1 变式 2求函数y 23 的最小值 xy 14 0  x 的最小值 22sin xcos x2 类型三求分式的最值问题类型三求分式的最值问题 x2 x1 3. 已知x  0，求的最小值 x x231 x 的值域 变式 1求函数y  x12 变式 2求函数y  x25 x 4 2 的最小值 类型四求负数范围的最值问题类型四求负数范围的最值问题 4.x  0,求x的最大值 变式 1求f x  x 1 x 4 x  0的值域 x x22x1 的值域变式2求f x  x 变式 3已知x  类型五利用转化思想和方程消元思想求最值类型五利用转化思想和方程消元思想求最值 例 5.若正数 a,b 满足ab  ab3,则 （1）ab 的取值范围是 （2）ab 的取值范围是 变式 1若 x，y0 满足2xy6  xy,则xy的最小值是 变式 2已知 x，y0 满足x2y2xy  8,则x2y的最小值是 补充正数a,b满足a b 1 ab，则3a  2b的最小值是______ 51 ,求函数y4x2的最大值 44x5 类型六求参数范围类型六求参数范围 运用基本不等式求参数取值范围的方法 1若已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式． 2若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数的最值恒成立问题，若 a≤fx恒成立，则 a≤fxmin；若 a≥fx恒成立，则 a≥fxmax.而求函数的最值时可能用到基本不等式． x2＋ax＋11 例 1 已知函数 fx＝a①R R， 若对于任意的 x①N N*， fx≥3 恒成立， 则 a 的取值范围是________． x＋1 a 2.已知函数 fx＝4x＋ x0，a0在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________． x 11k 3．设 a0，b0，且等式 ＋ －＝0 恒成立，求实数 k 的最小值． aba＋b x 4.若对任意 x＞0， 2 ≤a 恒成立，求 a 的取值范围． x ＋3x＋1 作业作业 1、设 x,y 为正数, 则x y 1 x 4 的最小值为 y A. 6B.9C.12D.15 ab 2、若a,b为实数，且ab  2，则3  3的最小值是（） （A）18 （B）6（C）2 3（D）243 3. 设正数x、y满足2x y  20，则lgxlg y的最大值是（） A50B20C 1lg5D1 4. 已知 a,b为正实数，且a  2b 1,则 1 a  1 b 的最小值为（） A．4 2B．6C．3－2 2D．32 2 5. 设a、bR,且a  b,a b  2,则必有 1 ab  a2 b2a2 2 Bab 1 b2 A 2 a2 Cab  b2 2 1 D a2b2 2  ab 1 6．下列结论正确的是 A.当x 0且x 1时，lgx 1 lgx  2B.当x  0时，x  1 x  2 C．当x  2时，x 1 x 的最小值为 2D.0 x  2时，x 1 x 无最大值 7. 若a  b 1，P  lgalgb，Q  1ab 2 lgalgb，R  lg 2 ，则下列不等式成立的是（ AR  P  QBP  Q  RCQ  P  RDP  R  Q 8. 函数y  x 1 x1 x  1的最小值是． 9. 已知两个正实数x、y满足关系式x  4y  40, 则lg x  lg y的最大值是____________. 10. 已知0  x  1 2 ，则x12x的最大值是 11.已知x, y R，且x  4y 1，则x y的最大值________ 12. 若正数a,b满足ab  ab4,，则ab的取值范围是 ） 13. 经过长期观测得到在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度  （千米/小时）之间的函数关系为y  920  0。 231600 （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大最大车流量为多少 （精确到0.1千辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10 千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内