第十六讲 图形的平移和旋转讲义
第十六讲第十六讲图形的平移和旋转图形的平移和旋转 一、课标下复习指南一、课标下复习指南 (一)平移变换 1 1．平移的概念．平移的概念 平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移． 注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离． 2 2．平移的性质．平移的性质 (1)平移前后的图形全等； (2)对应线段平行(或共线)且相等； (3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等． 3 3．平移变换的作图．平移变换的作图 如图 16－1 所示，将△ABC 平移至△A′B′C′，则有 AA′∥BB′，且 AA′＝BB′； BB′与 CC′共线，且 BB′＝CC′． 图 16－1 说明说明我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后 的图形，得知平移的方向和距离． 4 4．用坐标表示平移．用坐标表示平移 (1)点(x，y) (2)点(x，y) 点(x＋a，y)或(x－a，y)； (x，y＋b)或(x，y－b)． (二)轴对称变换 1 1．轴对称的概念．轴对称的概念 把一个图形沿一条直线翻折过去， 如果它能与另一个图形重合， 那么这两个图形关于这 条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重 合的点)叫做对称点． 2 2．轴对称的性质．轴对称的性质 (1)关于某条直线对称的两个图形全等； (2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分； (3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上． 3 3．轴对称变换的作图．轴对称变换的作图 如图 16－2， 若△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称， 则有△ABC≌△A′B′C′； AA′， BB′，CC′都被直线 l 垂直平分． 图 16－2 说明说明我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形； 反之， 可以根据两个成轴对称 关系的图形，得出对称轴． 4 4．轴对称图形．轴对称图形 如果把一个图形沿一条直线对折， 对折的两部分能够完全重合， 那么就称这个图形为轴 对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴． 注：一个图形的对称轴可以有1 条，也可以有多条． 5 5．轴对称与轴对称图形的区别与联系．轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别联系 轴对称是若把轴 对称的 两 轴对称 指两个图形的个图形看成一个(整体) 对称关系图形， 则成为轴对称图 若把轴对称图形的轴对称图形； 轴对称 形是指具有某互相对称的两个部分 则它们图形种对称特性的看成两个图形， 成轴对称一个图形 6 6．用坐标表示轴对称．用坐标表示轴对称 点(x，y)关于 x 轴对称的点为(x，－y)； 点(x，y)关于 y 轴对称的点为(－x，y)； 点(x，y)关于直线 y＝x 对称的点为(y，x)； 点(x，y)关于直线 y＝－x 对称的点为(－y，－x)； *点(x，y)关于直线 x＝m 对称的点为(2m－x，y)； *点(x，y)关于直线 y＝n 对称的点为(x，2n－y)． ( (三三) )旋转变换旋转变换 1 1．旋转的概念．旋转的概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这 样的图形变换叫做旋转．这个定点O 叫做旋转中心，转动的角称为旋转角． 注：旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角． 2 2．旋转的性质．旋转的性质 (1)旋转前后的图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线 上)； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； *(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角． 3 3．旋转变换的作图．旋转变换的作图 (1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图形的关键点； (2)将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接，并将线段按要求 进行旋转，得到这些关键点的对应点； (3)按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形． 说明说明根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角． *4*4．旋转对称图形．旋转对称图形 如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于 360°)后能与自身重合，那么这种图形就 叫做旋转对称图形． 5 5．中心对称．中心对称 把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关 于这个定点对称或中心对称． 这个定点叫做对称中心， 两个图形中对应点叫做关于对称中心 的对称点． 6 6．中心对称的性质．中心对称的性质 中心对称是一种特殊的旋转， 因此它具有旋转的一切性质． 另外，它还有自己特殊的性 质： (1)对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所 连线段的中点； (2)对应线段平行或共线． 7 7．中心对称的作图．中心对称的作图 如图 16－3，若△ABC 与△A′B′C′关于点 O 中心对称，则对称中心O 是线段 AA′、 BB′、 CC′共同的中点， 且 AB∥A′B′， AB＝A′B′， BC∥B′C′， BC＝B′C′， CA∥C′ A′，CA＝C′A′． 图 16－3 说明说明我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成 中心对称关系的图形，得出对称中心． 8 8．中心对称图形．中心对称图形 一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个 定点叫做该图形的对称中心． *中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等于 180°)． 9 9．中心对称与中心对称图形的区别与联系．中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系 中心对 称把中心对称的两个 中心 是指两个图形 图形看成一个 (整体)图 对称 的对称关系形，则称为中心对称图 中心对 称形；把中心对称图形的 中心对图形是指具有 互相对称的两个部分看 称图形某种对称特性 成两个图形，则它们成 的一个图形中心对称 1010．关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点的坐标 点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(－x，－y)． 二、例题分析二、例题分析 例例 1 1在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的两条直角边 OA，OB 分别在 x 轴的负半轴，y 轴的负半轴上，且 OA＝2，OB＝1．将△AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，再把所得的 图形沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，得到△CDO． (1)在坐标系中，分别画出△AOB 和△COD，并写出点 A，C 的坐标； (2)求点 A 和点 C 之间的距离； (3)求点 A 到点 C 所经过的路线的长度． 解解(1)所画出的△AOB 和△COD 如图 16－4 所示，点 A 的坐标是(－2，0)，点 C 的坐标 是(1，2)． 图 16－4 (2)连接 AC． 在 Rt△ACD 中，AD＝OA＋OD＝3，CD＝2， AC CD2 AD213. (3)点 A 到点 C 所经过的路线的长度是 90 πOA1 π1. 180 说明说明(1)正确画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空 间想象力的具体体现． 想一想， △AOB 能否先进行平移、 再经过旋转， 得到△CDO 如果可以， 请用准确的术语写出
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