第十六讲 图形的平移和旋转讲义

第十六讲第十六讲图形的平移和旋转图形的平移和旋转 一、课标下复习指南一、课标下复习指南 一平移变换 1 1．平移的概念．平移的概念 平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移． 注平移变换的两个要素移动的方向和距离． 2 2．平移的性质．平移的性质 1平移前后的图形全等； 2对应线段平行或共线且相等； 3对应点所连的线段平行或共线且相等． 3 3．平移变换的作图．平移变换的作图 如图 16－1 所示，将△ABC 平移至△A′B′C′，则有 AA′∥BB′，且 AA′＝BB′； BB′与 CC′共线，且 BB′＝CC′． 图 16－1 说明说明我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后 的图形，得知平移的方向和距离． 4 4．用坐标表示平移．用坐标表示平移 1点x，y 2点x，y 点x＋a，y或x－a，y； x，y＋b或x，y－b． 二轴对称变换 1 1．轴对称的概念．轴对称的概念 把一个图形沿一条直线翻折过去， 如果它能与另一个图形重合， 那么这两个图形关于这 条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点即两图形重合时互相重 合的点叫做对称点． 2 2．轴对称的性质．轴对称的性质 1关于某条直线对称的两个图形全等； 2对称点所连的线段被对称轴垂直平分； 3对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上． 3 3．轴对称变换的作图．轴对称变换的作图 如图 16－2， 若△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称， 则有△ABC≌△A′B′C′； AA′， BB′，CC′都被直线 l 垂直平分． 图 16－2 说明说明我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形； 反之， 可以根据两个成轴对称 关系的图形，得出对称轴． 4 4．轴对称图形．轴对称图形 如果把一个图形沿一条直线对折， 对折的两部分能够完全重合， 那么就称这个图形为轴 对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴． 注一个图形的对称轴可以有1 条，也可以有多条． 5 5．轴对称与轴对称图形的区别与联系．轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别联系 轴对称是若把轴 对称的 两 轴对称 指两个图形的个图形看成一个整体 对称关系图形， 则成为轴对称图 若把轴对称图形的轴对称图形； 轴对称 形是指具有某互相对称的两个部分 则它们图形种对称特性的看成两个图形， 成轴对称一个图形 6 6．用坐标表示轴对称．用坐标表示轴对称 点x，y关于 x 轴对称的点为x，－y； 点x，y关于 y 轴对称的点为－x，y； 点x，y关于直线 y＝x 对称的点为y，x； 点x，y关于直线 y＝－x 对称的点为－y，－x； *点x，y关于直线 x＝m 对称的点为2m－x，y； *点x，y关于直线 y＝n 对称的点为x，2n－y． 三三 旋转变换旋转变换 1 1．旋转的概念．旋转的概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向逆时针或顺时针转动一定的角度，这 样的图形变换叫做旋转．这个定点O 叫做旋转中心，转动的角称为旋转角． 注旋转变换的三要素旋转中心、旋转方向和旋转角． 2 2．旋转的性质．旋转的性质 1旋转前后的图形全等； 2对应点到旋转中心的距离相等意味着即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线 上； 3对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； *4对应线段所在直线的夹角等于旋转角． 3 3．旋转变换的作图．旋转变换的作图 1明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图形的关键点； 2将能确定原图形的关键点多边形一般为每个顶点与旋转中心连接，并将线段按要求 进行旋转，得到这些关键点的对应点； 3按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形． 说明说明根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角． *4*4．旋转对称图形．旋转对称图形 如果某图形绕着某一定点转动一定角度小于 360后能与自身重合，那么这种图形就 叫做旋转对称图形． 5 5．中心对称．中心对称 把一个图形绕着某个定点旋转180，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关 于这个定点对称或中心对称． 这个定点叫做对称中心， 两个图形中对应点叫做关于对称中心 的对称点． 6 6．中心对称的性质．中心对称的性质 中心对称是一种特殊的旋转， 因此它具有旋转的一切性质． 另外，它还有自己特殊的性 质 1对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所 连线段的中点； 2对应线段平行或共线． 7 7．中心对称的作图．中心对称的作图 如图 16－3，若△ABC 与△A′B′C′关于点 O 中心对称，则对称中心O 是线段 AA′、 BB′、 CC′共同的中点， 且 AB∥A′B′， AB＝A′B′， BC∥B′C′， BC＝B′C′， CA∥C′ A′，CA＝C′A′． 图 16－3 说明说明我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成 中心对称关系的图形，得出对称中心． 8 8．中心对称图形．中心对称图形 一个图形绕着一个定点旋转180后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个 定点叫做该图形的对称中心． *中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形旋转角等于 180． 9 9．中心对称与中心对称图形的区别与联系．中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系 中心对 称把中心对称的两个 中心 是指两个图形 图形看成一个 整体图 对称 的对称关系形，则称为中心对称图 中心对 称形；把中心对称图形的 中心对图形是指具有 互相对称的两个部分看 称图形某种对称特性 成两个图形，则它们成 的一个图形中心对称 1010．关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点的坐标 点x，y关于原点对称的点的坐标为－x，－y． 二、例题分析二、例题分析 例例 1 1在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的两条直角边 OA，OB 分别在 x 轴的负半轴，y 轴的负半轴上，且 OA＝2，OB＝1．将△AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90，再把所得的 图形沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，得到△CDO． 1在坐标系中，分别画出△AOB 和△COD，并写出点 A，C 的坐标； 2求点 A 和点 C 之间的距离； 3求点 A 到点 C 所经过的路线的长度． 解解1所画出的△AOB 和△COD 如图 16－4 所示，点 A 的坐标是－2，0，点 C 的坐标 是1，2． 图 16－4 2连接 AC． 在 Rt△ACD 中，AD＝OA＋OD＝3，CD＝2，  AC CD2 AD213. 3点 A 到点 C 所经过的路线的长度是 90 πOA1 π1. 180 说明说明1正确画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空 间想象力的具体体现． 想一想， △AOB 能否先进行平移、 再经过旋转， 得到△CDO 如果可以， 请用准确的术语写出