求点轨迹方程教学实践和反思

《求点的轨迹方程》的教学实践与反思《求点的轨迹方程》的教学实践与反思 ――新课程理念下的一堂高三复习课――新课程理念下的一堂高三复习课 高三复习中，如何在新的课改理念的指导下，更新观念，转换角色，调整教学策略，提 高课堂教学的有效性，全面发展学生能力，是我们每个教师应关注的问题， 本人就《求点的 轨迹方程》一课，在课堂教学中如何落实双基与发展学生的能力作了一些尝试。 课前设计：课前设计： 教学目标： 知识与技能： 1.能从课前练习中归纳求动点的轨迹方程的四种常用方法：直接法、定义法、相 关点代入法、参数法； 2.注意求轨迹方程问题中的易出错误，注意方程的纯粹性和完备性； 3.能选择适当的方法求轨迹方程。 过程与方法： 1.进一步强化类比联想的方法，领会方程，数形结合，分类讨论等数学思想； 2.培养思维的灵活性和严密性； 3.学会在求轨迹时，如何思考问题。 情感态度价值观： 1.感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美； 2.树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气。 教学重点： 1.求曲线方程的四种方法：直接法、定义法、相关点代入法、参数法； 2.注意求曲线方程的纯粹性和完备性 教学难点：灵活运用求曲线方程的几何法，代入法。 教学程序与策略：教学程序与策略： 一．问题引入： 练习：1.已知向量OP与OQ关于 y 轴对称，且2OPOQ 1，则点P(x, y)的轨迹方程是 _________________. 2.ABC中，已知 B、C 的坐标分别为（－3，0）和（3，0） ，且的周长为16，则顶点 A 的 轨迹方程为__________________. 3.已知点P(x, y)满足x  y  4，过P 作 PF 垂直 x 轴于 F 点，则PF 的中点 M 的轨迹方 程为______________________. 22 4.已知点P(x, y)满足x  y  4，则点Q(xy,x  y)的轨迹方程为_______________. 22 学生解决问题，教师巡视，学生口答并归纳求率哟然四种方法。 设计意图：设置问题情境，学生思考，练习，能理解和掌握求曲线方程的四种常用方法，并 能自我小结，归纳出求动点轨迹方程的四种常用高度计的规律。 二．探索研究： 问题 1： 如图， 在ABC中，BC  6若ABC的内切圆切BC边于D点且BD  CD  4， 建立适当的直角坐标系，求顶点A的轨迹方程。 A A 通过师生共同分析，掌握问题1 的解法。 设计意图：利用变式教学根据约束动点变动的几 何条件，利用圆锥曲线的定义得出动点轨迹方程， 并注意方程的纯粹性。 问题 2：如图， 过抛物线C : y2 4x(x  0)的焦 点F的直线交抛物线于A、B两点，求ABC重 心G的轨迹方程（其中O为坐标原点） 。 O O B B D D C C 师生分析寻求解决问题的多种方法。 设计意图： 如果没有找到约束动点变化的几何条件， 则解决问题的关键是寻找引起变化的原 因。 三．归纳小结：指导并由学生自我小结。 ① 求曲线方程的步骤。 ② 求曲线方程的常用方法。 ③ 本节课渗透的数学思想方法 教学实录：教学实录： 出示练习并由学生单独完成，并请一位同学口答 生 1：练 1：y  x  22 1 2 x2y2 1 练 2： 2516 x2  y21 练 3： 4 练 4：y  2x  4 2 师：有没有同学需要补充？ 生 2：1，3 两题答案是对的，2，4 两题的答案不完整，结论中少了限制条件。练 2 应该加 上y  0，练 4 要加上 2  x  2。 师：为什么要加上这些限制条件？ 生 2：练 4 中，因为点P在圆上，所以应该有 2  x  2这个限制条件。练 2 中，因为当 A、B、C共线时，不能构成三角形，所以应该有y  0这个条件。 师：我再提个问题，这 4 个练习分别用了求轨迹方程中的什么方法， 求轨迹方程的步骤是什 么？ 生 3：求轨迹方程的过程，应体现五个步骤，它们是： ⑴建立适当的直角坐标系，设动点坐标; ⑵有根据限制条件写出动点的集合 ⑶坐标代入; ⑷化简方程; ⑸说明坐标满足方程的点在曲线上。 4 个练习中，1 是直接法，2 是定义法，3 是相关点代入法，4 是参数法。 师：口答得很好，在这 5 个步骤中你们认为最关键的是哪一步？ 生 4：是第2 步，写出约束动点变化的限制条件，将此条件转化为代数形式，就可以得出动 点的轨迹方程了。 师：很好，找出约束动点变化的限制条件是求动点轨迹方程的关键！ 在求解此类问题时要有 找“限制条件的意识” 。 教师把练 2 中的条件改变一下，接着提问题。 出示问题 1，学生思考，解答，教师巡视。 学生解答过程用多媒体展示，现摘录其一。 生 5：以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立如图所示直角坐标系。 B(3,0).C(3,0) BD  CD  4， AB  AC  4， y y A A 动点A的轨迹是B、C以为焦点的双曲线 的右支， x2y2 1(x  2)。方程为 45 师：你是如何得出 AB  AC  4？ 生 5： 设D、E、F是⊙O 与相切的切点， 则 E E O O O O D DC C F F x x BD  BE,CD  CF,AE  AF,  AB  AC  BE  CF  BD  CD。 师：动点A的轨迹为什么不是整支双曲线？ B B 生 5：这个约束条件不是双曲线的定义，是双曲线的一个分支。 师：回答得很好。如果限制条件符合自己已经学习过的曲线定义， 则可以比较容易地写出动 点的轨迹方程，如果限制条件不符合圆锥曲线的定义，又如何解决这类问题呢？ 继续出示问题 2，请同学思考，请一个学生回答。 生 6：设直线AB的方程为y  k(x 1)， 设A(x1, y1),B(x2, y2),G(x, y)。 联立方程 y  k(x 1) ， 2  y  4x k2x2(2k2 4)x  k2 0; x 1  x 2  2 4 ; k2 又G 是ABC的重心， x 1  x 2 24x   2  333k ; y 1  y 2 4  y  33k 消去k，得点 G 的轨迹方程是y  2 4x8  。 39 师：解法对吗？大家说说看。 生 7：直线AB可以垂直x轴，所以k有可能不存在。解题时要分为两种情况。当k不存在 时AB : x 1，G( ,0)满足所求方程。 生 8：设直线AB的方程为：x  my 1，则可以避免对直线AB的斜率的讨论，结论和方 法都不会改变。 师;你真聪明。 本题与问 1 的题设条件不一样， 不易写出动点 G 在变动时所满足的几何条件， 但却容易看出，直线绕焦点 F 转动是引起点 G 变动的原因。因些，我们可以用直线的斜率 过渡，建立起 G 横、纵坐标之间的联系，也就是动点G 的轨迹方程。 接下来，教师继续改变问题。 2 3 x2y2 1的一动弦P 问题 3：已知椭圆 1P2 与长轴AB垂直，且AP 1与 BP 2 相交于点Q， 2516 求点