求点轨迹方程教学实践和反思

求点的轨迹方程的教学实践与反思求点的轨迹方程的教学实践与反思 新课程理念下的一堂高三复习课新课程理念下的一堂高三复习课 高三复习中，如何在新的课改理念的指导下，更新观念，转换角色，调整教学策略，提 高课堂教学的有效性，全面发展学生能力，是我们每个教师应关注的问题， 本人就求点的 轨迹方程一课，在课堂教学中如何落实双基与发展学生的能力作了一些尝试。 课前设计课前设计 教学目标 知识与技能 1.能从课前练习中归纳求动点的轨迹方程的四种常用方法直接法、定义法、相 关点代入法、参数法； 2.注意求轨迹方程问题中的易出错误，注意方程的纯粹性和完备性； 3.能选择适当的方法求轨迹方程。 过程与方法 1.进一步强化类比联想的方法，领会方程，数形结合，分类讨论等数学思想； 2.培养思维的灵活性和严密性； 3.学会在求轨迹时，如何思考问题。 情感态度价值观 1.感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美； 2.树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气。 教学重点 1.求曲线方程的四种方法直接法、定义法、相关点代入法、参数法； 2.注意求曲线方程的纯粹性和完备性 教学难点灵活运用求曲线方程的几何法，代入法。 教学程序与策略教学程序与策略 一．问题引入 练习1.已知向量OP与OQ关于 y 轴对称，且2OPOQ 1，则点Px, y的轨迹方程是 _________________. 2.ABC中，已知 B、C 的坐标分别为（－3，0）和（3，0） ，且的周长为16，则顶点 A 的 轨迹方程为__________________. 3.已知点Px, y满足x  y  4，过P 作 PF 垂直 x 轴于 F 点，则PF 的中点 M 的轨迹方 程为______________________. 22 4.已知点Px, y满足x  y  4，则点Qxy,x  y的轨迹方程为_______________. 22 学生解决问题，教师巡视，学生口答并归纳求率哟然四种方法。 设计意图设置问题情境，学生思考，练习，能理解和掌握求曲线方程的四种常用方法，并 能自我小结，归纳出求动点轨迹方程的四种常用高度计的规律。 二．探索研究 问题 1 如图， 在ABC中，BC  6若ABC的内切圆切BC边于D点且BD  CD  4， 建立适当的直角坐标系，求顶点A的轨迹方程。 A A 通过师生共同分析，掌握问题1 的解法。 设计意图利用变式教学根据约束动点变动的几 何条件，利用圆锥曲线的定义得出动点轨迹方程， 并注意方程的纯粹性。 问题 2如图， 过抛物线C y2 4xx  0的焦 点F的直线交抛物线于A、B两点，求ABC重 心G的轨迹方程（其中O为坐标原点） 。 OO B B D D C C 师生分析寻求解决问题的多种方法。 设计意图 如果没有找到约束动点变化的几何条件， 则解决问题的关键是寻找引起变化的原 因。 三．归纳小结指导并由学生自我小结。 ① 求曲线方程的步骤。 ② 求曲线方程的常用方法。 ③ 本节课渗透的数学思想方法 教学实录教学实录 出示练习并由学生单独完成，并请一位同学口答 生 1练 1y  x  22 1 2 x2y2 1 练 2 2516 x2  y21 练 3 4 练 4y  2x  4 2 师有没有同学需要补充 生 21，3 两题答案是对的，2，4 两题的答案不完整，结论中少了限制条件。练 2 应该加 上y  0，练 4 要加上 2  x  2。 师为什么要加上这些限制条件 生 2练 4 中，因为点P在圆上，所以应该有 2  x  2这个限制条件。练 2 中，因为当 A、B、C共线时，不能构成三角形，所以应该有y  0这个条件。 师我再提个问题，这 4 个练习分别用了求轨迹方程中的什么方法， 求轨迹方程的步骤是什 么 生 3求轨迹方程的过程，应体现五个步骤，它们是 ⑴建立适当的直角坐标系，设动点坐标; ⑵有根据限制条件写出动点的集合 ⑶坐标代入; ⑷化简方程; ⑸说明坐标满足方程的点在曲线上。 4 个练习中，1 是直接法，2 是定义法，3 是相关点代入法，4 是参数法。 师口答得很好，在这 5 个步骤中你们认为最关键的是哪一步 生 4是第2 步，写出约束动点变化的限制条件，将此条件转化为代数形式，就可以得出动 点的轨迹方程了。 师很好，找出约束动点变化的限制条件是求动点轨迹方程的关键 在求解此类问题时要有 找“限制条件的意识” 。 教师把练 2 中的条件改变一下，接着提问题。 出示问题 1，学生思考，解答，教师巡视。 学生解答过程用多媒体展示，现摘录其一。 生 5以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立如图所示直角坐标系。 B3,0.C3,0 BD  CD  4， AB  AC  4， y y A A 动点A的轨迹是B、C以为焦点的双曲线 的右支， x2y2 1x  2。方程为 45 师你是如何得出 AB  AC  4 生 5 设D、E、F是⊙O与相切的切点， 则 E E OO O O D DC C F F x x BD  BE,CD  CF,AE  AF,  AB  AC  BE  CF  BD  CD。 师动点A的轨迹为什么不是整支双曲线 B B 生 5这个约束条件不是双曲线的定义，是双曲线的一个分支。 师回答得很好。如果限制条件符合自己已经学习过的曲线定义， 则可以比较容易地写出动 点的轨迹方程，如果限制条件不符合圆锥曲线的定义，又如何解决这类问题呢 继续出示问题 2，请同学思考，请一个学生回答。 生 6设直线AB的方程为y  kx 1， 设Ax1, y1,Bx2, y2,Gx, y。 联立方程 y  kx 1 ， 2  y  4x k2x22k2 4x  k2 0; x 1  x 2  2 4 ; k2 又G 是ABC的重心， x 1  x 2 24x   2  333k ; y 1  y 2 4  y  33k 消去k，得点 G 的轨迹方程是y  2 4x8  。 39 师解法对吗大家说说看。 生 7直线AB可以垂直x轴，所以k有可能不存在。解题时要分为两种情况。当k不存在 时AB x 1，G ,0满足所求方程。 生 8设直线AB的方程为x  my 1，则可以避免对直线AB的斜率的讨论，结论和方 法都不会改变。 师;你真聪明。 本题与问 1 的题设条件不一样， 不易写出动点 G 在变动时所满足的几何条件， 但却容易看出，直线绕焦点 F 转动是引起点 G 变动的原因。因些，我们可以用直线的斜率 过渡，建立起 G 横、纵坐标之间的联系，也就是动点G 的轨迹方程。 接下来，教师继续改变问题。 2 3 x2y2 1的一动弦P 问题 3已知椭圆 1P2 与长轴AB垂直，且AP 1与 BP 2 相交于点Q， 2516 求点