椭圆难题包括答案

关于焦点三角形与焦点弦 （1）椭圆上一点P与两个焦点Fi, F2所构成的PF 1F2 称为焦点三角形。 设.F 1PF2 二，，则有: 2 ① ② 当|y。卜b（即P为短轴顶点）时，S最大，且S max = bCFl Fl b2_ c2乞PF〔PF乞b2 2 （2）经过焦点F i 或 F2的椭圆的弦AB，称为焦点弦。 设A（x「yi）, B/, y2），AB的中点为M（心y。）， 则弦长 |AB| = 2a土e（t + x2） = 2a土2ex。 （左焦点取“+”，右焦点取“-”） 2b2 当AB丄x车由时，|AB|最短，且AB *=-~ min a mi 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 1联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于x的一兀一次方程, 设交点坐标为（为，yj, （x , y ），则有「0,以及x x , x x，还可进一步求出 221212 %+『, y y。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法 212 2点差法： 设父点坐标为（x「yj,区，y2）代入椭圆方程，并将两式相减，可得 b— x2 2 ，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法 a乂 目 2 典例剖析 1求椭圆的标准方程 2 2 【例2】设椭圆笃Z = 1 a b 0的左焦点为F，上顶点为A，过A点作AF的垂线 a b 8~^ 分别交椭圆于P，交x轴于Q，且AP = -PQ (1)求椭圆的离心率。 (2)若过A, F, Q三点的圆恰好与直线x ^3y 3 = 0相切，求椭圆的方程。 【解】(1)由已知可得:F(-c, 0), A(0, b), Q( , 0) c b2 8PB 可得：P(8b“,5b)，将 P 点坐标代入椭圆方程可得:= 8T -13c 13c b2 3 =: (2)由(1) a2 - c2 ac 2 3 2 -二 2e 3e - 2 = 0= e = 1 2 得：Q(3c, 0)，圆心为(c, 0)，半径—2c 二 2c= c = 1(圆心到直线距离)，所以 a = 2, b 二 3。于是有: 故椭圆方程为: 【例4】已知椭圆的中心在原点0,短轴长为2.2，右准线交x轴于点A，右焦点为F， 且|0F| = 2|FA|，过点A的直线I交椭圆于P, Q两点 (1) 求椭圆的方程 (2) 若OP OQ = 0，求直线 I的方程 (4)求口OPQ的最大面积 【解】(1)c = 2，b= 2，-6，A 3,。椭圆方程为：［fl (2)设直线 I 的方程为：x - 3 二 ky，且设 P X1, y1, Q X2, y2 22 联立 62 消去x,得•( k1 2+3)y2+6ky+3= 0 x - 3 二 ky -6k 则 ％ ‘2二 k23, y“2 从而求得•咅+^是 -6k2+ 27 浓 2 二 k23 由 OP OQ = 0 得：x1x2 y,y^ 0，求得 k =「$5 所以 I 的方程为：x— 5y-3=0 3 (4)由(1)得•.二0= k2 2 1 y 3 -6k 2 S OPQ = 2 OA i y2= 2 k2+ 3丿 3 12 k2 +3 t 十—— 2t k2 _ 寸=t (t 0 ),则 S _ 3 4 5 6 S OPQ _Q _3 3 /3 当且仅当 t = - 3 3即 k = 一 6 时，取“二” 2 , 所以 OPQ 的最大面积为 3 2椭圆的性质 2 2 【例6】已知椭圆笃*占=1a b 0的两个焦点分别为F1-c, 0, a b F2c, 0，在椭 圆上存在一点P，使得PF；PF^=0 (1)求椭圆离心率e的取值范围 (2)当离心率e取最小值时，U PF^的面积为16，设A, B是椭圆上两动点, 若线段AB的垂直平分线恒过定点Q(0,-二)。①求椭圆的方程；②求直 线AB的斜率k的取值范围。 【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得：• F1BF2 - F1PF2 = 900 所以.0B 巧 一 4^，从而 tan OBF - 1,即 C - 1 = c2一 b2，又 b2= a2 -c2， b 所以介二 2，得:，所以-隊｛ （2）①当 e取得最小值 2时，P在短轴顶点, 2 所以 S 0 a b 【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点F2与椭圆 交于 A, B两点，OA OB与向量：二3,-1共线。 (1)求椭圆的离心率e 【解】 , . 2 2 设 M为椭圆上任一点，若OM「OA ^OB•，— R，求证：， 定值 (1)设椭圆方程为 x2y2=1 a b 0，设 A(x1, y1)，B(x2, y2)， a b 由已知：直线AB的方程为：y 二 X-C，代入椭圆方程，得: (a2 b2)x _ 2a2cx a2c2 _ a2b2= 0， 2a2c 由韦达定理得：X「X2 = 2 2，易知：OA • OB 二(x x 2 , y y 2) a +b 因为 OA OB 与向量^3,-1共线，所以 3(y y2) (x「x2) = 0, 而％y2=人x2- 2c,所以3(x^ x2- 2c) (x^ x2^ 0， 2」为 (2) 3c ，于是有: 所以 C2 a 2a2c a2 b2 3c ― 2 2 2 2 a 3b 2 — 2 故有: 又b二a 22 2 -c， 2 2 )由(1)得:a2 2，c 二 2b，所以椭圆方程为: 2 b2 ， (2-3b 3b =1 即 x2 3y2二 3b2，直线AB的方程为：y = x - 2b , 辽，X i，X2= i，从而屮 f—邑 ，y i % —卫。 3b 于是有: X i X 2 242 71 724 于是 X［冬+ 3%上=0。设 M (X Q , y0)，由已知：丿 22 将M的坐标代入椭圆方程得：■ x^ -x 2 3 y^ - y 2 3b2, 即 2x123yj“2x223y222(x1x23y1y2) = 3b2, 于是有： ■ 2 3b2■」2 3b2 = 3b2。故，2」2 = 1 为定值。 22 【例8】已知A为椭圆与匕=1 a b 0上一动点，弦AB, AC分别过焦点％F?， 当AC丄x轴时，恰有人日=3人尸 (1)椭圆的离心率 (2)设AF^ 1F1B，AF2 = 2F2C，判断■ 2 是否为定值? a b 2 【解】(1)当 AC 丄 x 轴时，AF2 b2 a， 从而|AF1| = 3b2 a 4 b2 依定义有 |AFJ +|AF2p 2a，所以 -----------= 2a= a2 = 3b2 a 而 b2= a2_ c2，所以 a2= 2c2二 £ =即 e =——a 2， 2 2 2。 (2)由(1)可知椭圆方程为：+ 设 A XQ, yo, B X1, 程为 y = 2c c = 1， Fj-c, 0), F2(C, 0) y1, C x?,y①若 AB, AC 的斜率都存在，则直线 AB 的方 yoX c Xoc 代入椭圆方程，并整理得： 由韦达定理有 y0y1 =- 由已知：&〔二凹二-％ RB 2cxo 2 2 3c7 8y9 10- 2cyoXo • c y -c2y。2二 0 2 c y° -9