椭圆难题包括答案

关于焦点三角形与焦点弦 （1）椭圆上一点P与两个焦点Fi, F2所构成的PF 1F2 称为焦点三角形。 设.F 1PF2 二，，则有 2 ① ② 当|y。卜b（即P为短轴顶点）时，S最大，且S max bCFl Fl b2_ c2乞PF〔PF乞b2 2 （2）经过焦点F i 或 F2的椭圆的弦AB，称为焦点弦。 设A（x「yi）, B/, y2），AB的中点为M（心y。）， 则弦长 |AB| 2a土e（t x2） 2a土2ex。 （左焦点取“”，右焦点取“-”） 2b2 当AB丄x车由时，|AB|最短，且AB *- min a mi 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 1联立方程法联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于x的一兀一次方程, 设交点坐标为（为，yj, （x , y ），则有「0,以及x x , x x，还可进一步求出 221212 『, y y。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法 212 2点差法 设父点坐标为（x「yj,区，y2）代入椭圆方程，并将两式相减，可得 b x2 2 ，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法 a乂 目 2 典例剖析 1求椭圆的标准方程 2 2 【例2】设椭圆笃Z 1 a b 0的左焦点为F，上顶点为A，过A点作AF的垂线 a b 8 分别交椭圆于P，交x轴于Q，且AP -PQ 1求椭圆的离心率。 2若过A, F, Q三点的圆恰好与直线x 3y 3 0相切，求椭圆的方程。 【解】1由已知可得F-c, 0, A0, b, Q , 0 c b2 8PB 可得P8b“,5b，将 P 点坐标代入椭圆方程可得 8T -13c 13c b2 3 2由1 a2 - c2 ac 2 3 2 -二 2e 3e - 2 0 e 1 2 得Q3c, 0，圆心为c, 0，半径2c 二 2c c 1圆心到直线距离，所以 a 2, b 二 3。于是有 故椭圆方程为 【例4】已知椭圆的中心在原点0,短轴长为2.2，右准线交x轴于点A，右焦点为F， 且|0F| 2|FA|，过点A的直线I交椭圆于P, Q两点 1 求椭圆的方程 2 若OP OQ 0，求直线 I的方程 4求口OPQ的最大面积 【解】1c 2，b 2，-6，A 3,。椭圆方程为［fl 2设直线 I 的方程为x - 3 二 ky，且设 P X1, y1, Q X2, y2 22 联立 62 消去x,得 k1 23y26ky3 0 x - 3 二 ky -6k 则 ％ ‘2二 k23, y“2 从而求得咅是 -6k2 27 浓 2 二 k23 由 OP OQ 0 得x1x2 y,y 0，求得 k 「5 所以 I 的方程为x 5y-30 3 4由1得.二0 k2 2 1 y 3 -6k 2 S OPQ 2 OA i y2 2 k2 3丿 3 12 k2 3 t 十 2t k2 _ 寸t t 0 ,则 S _ 3 4 5 6 S OPQ _Q _3 3 /3 当且仅当 t - 3 3即 k 一 6 时，取“二” 2 , 所以 OPQ 的最大面积为 3 2椭圆的性质 2 2 【例6】已知椭圆笃*占1a b 0的两个焦点分别为F1-c, 0, a b F2c, 0，在椭 圆上存在一点P，使得PF；PF0 1求椭圆离心率e的取值范围 2当离心率e取最小值时，U PF的面积为16，设A, B是椭圆上两动点, 若线段AB的垂直平分线恒过定点Q0,-二。①求椭圆的方程；②求直 线AB的斜率k的取值范围。 【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得 F1BF2 - F1PF2 900 所以.0B 巧 一 4，从而 tan OBF - 1,即 C - 1 c2一 b2，又 b2 a2 -c2， b 所以介二 2，得，所以-隊｛ （2）①当 e取得最小值 2时，P在短轴顶点, 2 所以 S 0 a b 【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点F2与椭圆 交于 A, B两点，OA OB与向量二3,-1共线。 1求椭圆的离心率e 【解】 , . 2 2 设 M为椭圆上任一点，若OM「OA OB， R，求证， 定值 1设椭圆方程为 x2y21 a b 0，设 Ax1, y1，Bx2, y2， a b 由已知直线AB的方程为y 二 X-C，代入椭圆方程，得 a2 b2x _ 2a2cx a2c2 _ a2b2 0， 2a2c 由韦达定理得X「X2 2 2，易知OA OB 二x x 2 , y y 2 a b 因为 OA OB 与向量3,-1共线，所以 3y y2 x「x2 0, 而％y2人x2- 2c,所以3x x2- 2c x x2 0， 2」为 2 3c ，于是有 所以 C2 a 2a2c a2 b2 3c 2 2 2 2 a 3b 2 2 故有 又b二a 22 2 -c， 2 2 由1得a2 2，c 二 2b，所以椭圆方程为 2 b2 ， 2-3b 3b 1 即 x2 3y2二 3b2，直线AB的方程为y x - 2b , 辽，X i，X2 i，从而屮 f邑 ，y i 卫。 3b 于是有 X i X 2 242 71 724 于是 X［冬 3上0。设 M X Q , y0，由已知丿 22 将M的坐标代入椭圆方程得■ x -x 2 3 y - y 2 3b2, 即 2x123yj“2x223y222x1x23y1y2 3b2, 于是有 ■ 2 3b2■」2 3b2 3b2。故，2」2 1 为定值。 22 【例8】已知A为椭圆与匕1 a b 0上一动点，弦AB, AC分别过焦点％F， 当AC丄x轴时，恰有人日3人尸 1椭圆的离心率 2设AF 1F1B，AF2 2F2C，判断■2 是否为定值 a b 2 【解】1当 AC 丄 x 轴时，AF2 b2 a， 从而|AF1| 3b2 a 4 b2 依定义有 |AFJ |AF2p 2a，所以 ----------- 2a a2 3b2 a 而 b2 a2_ c2，所以 a2 2c2二 即 e a 2， 2 2 2。 2由1可知椭圆方程为 设 A XQ, yo, B X1, 程为 y 2c c 1， Fj-c, 0, F2C, 0 y1, C x,y①若 AB, AC 的斜率都存在，则直线 AB 的方 yoX c Xoc 代入椭圆方程，并整理得 由韦达定理有 y0y1 - 由已知〔二凹二-％ RB 2cxo 2 2 3c7 8y9 10- 2cyoXo c y -c2y。2二 0 2 c y -9