因式分解掌握方法和技巧

因因式式分分解解 一、因式分解的技巧一、因式分解的技巧： ： 1.1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提 取公因式，再考虑其他方法。取公因式，再考虑其他方法。 2.2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。 （（1 1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a a2 2－－b b2 2＝（＝（a a ＋＋b b）（）（a a－－b b）］。）］。 （（2 2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、 配方法。配方法。 （（3 3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。 a.a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。 b.b. 当项数为四项以上时，当项数为四项以上时， 可按次数分组，可按次数分组， 即可将次数相同的项各分为一组。即可将次数相同的项各分为一组。 3.3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后 再分解。再分解。 二二. . 因式分解的方法：因式分解的方法： （一）提公因式法（一）提公因式法 方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例例 1.1. 分析：分析：此多项式各项都有公因式此多项式各项都有公因式 x x，因此可提取公因式，因此可提取公因式 x x。。 （二）应用公式法（二）应用公式法 方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两 项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。 例例 2.2. 分析：分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。 解：解： 例例 3.3. 分析：分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公 式分解。式分解。 解：解： （三）分组分解法（三）分组分解法 方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的 是为提取公因式，是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式以便顺利地达到分解因式 的目的。下面介绍八种常见的思路：的目的。下面介绍八种常见的思路： 1.1. 按公因式分组：按公因式分组： 例例 4.4. 分析：分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第此题有四项，考虑将它们分组，其中第 1 1、、2 2 项有公因式项有公因式 mm，第，第 3 3、、 4 4 项有公因式项有公因式 p p，可将它们分别分为一组。，可将它们分别分为一组。 解：解： 2.2. 按系数特点分组：按系数特点分组： 例例 5.5. 分析：分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1 1：：2 2，所以可考虑将，所以可考虑将 第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。 解：解： 3.3. 按字母次数特点分组：按字母次数特点分组： 例例 6.6. 分析：分析：此题有一次项，此题有一次项，也有二次项，也有二次项，可将一次项分为一组，可将一次项分为一组，二次项分为一组。二次项分为一组。 解：解： 4.4. 按公式特点分组：按公式特点分组： 例例 7.7. 分析：分析：此题可将第此题可将第 2 2、、3 3、、4 4 项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上 运用平方差公式。运用平方差公式。 解：解： 5.5. 拆项分组：拆项分组： 例例 8.8. 分析：分析：为了便于运用乘法公式，可将为了便于运用乘法公式，可将-3-3 拆成拆成-4-4＋＋1 1，再适当分组，达到因式分，再适当分组，达到因式分 解的目的。解的目的。 解：解： 7.7. 换元分组：换元分组： 例例 9.9. 分析：分析：观察代数式中的观察代数式中的 x x＋＋y y，，xyxy 可考虑用换元法，使之结构简化，可考虑用换元法，使之结构简化， 再分组。再分组。 解：解：，则，则 （四）待定系数法（四）待定系数法 方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数，从而把多项式因式分解。求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例例 10.10. 分析：分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：解： 利用恒等式的性质可得：利用恒等式的性质可得： （五）十字相乘法：（五）十字相乘法： 方法介绍：对于方法介绍：对于 mxmx2 2＋＋pxpx＋＋q q 形式的多项式，如果形式的多项式，如果 abab＝＝mm，，cdcd＝＝q q 且且 acac ＋＋bdbd＝＝p p，则多项式可因式分解为：（，则多项式可因式分解为：（axax＋＋d d）（）（bxbx＋＋c c）。）。 例例 11.11. 分析：分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分 解因式：解因式： 解：解： （六）巧用换元法：（六）巧用换元法： 方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次， 化繁为简的目的。化繁为简的目的。 1.1. 取相同部分换元取相同部分换元 例例 12.12. 分析：分析： 若将上式展开，若将上式展开， 得到一个四次多项式，得到一个四次多项式， 更加难分解了，更加难分解了， 如将如将 mm2 2－－5m5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。 解：解： 三、分解因式：三、分解因式： 1 、x  2x 35x 2 、 3x 3x 53 、25(x  2y)  4(2y  x) 4、x  4xy 1 4y5、x  x 2222 43262 6、x 17、ax bx bx  ax b  a8、x 18x 813