因式分解掌握方法和技巧

因因式式分分解解 一、因式分解的技巧一、因式分解的技巧 1.1. 首选提取公因式法即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提首选提取公因式法即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提 取公因式，再考虑其他方法。取公因式，再考虑其他方法。 2.2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。 （（1 1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a a2 2－－b b2 2＝（＝（a a ＋＋b b）（）（a a－－b b）］。）］。 （（2 2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、 配方法。配方法。 （（3 3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。 a.a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。 b.b. 当项数为四项以上时，当项数为四项以上时， 可按次数分组，可按次数分组， 即可将次数相同的项各分为一组。即可将次数相同的项各分为一组。 3.3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后 再分解。再分解。 二二. . 因式分解的方法因式分解的方法 （一）提公因式法（一）提公因式法 方法介绍如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因方法介绍如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例例 1.1. 分析分析此多项式各项都有公因式此多项式各项都有公因式 x x，因此可提取公因式，因此可提取公因式 x x。。 （二）应用公式法（二）应用公式法 方法介绍应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两方法介绍应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两 项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。 例例 2.2. 分析分析此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。 解解 例例 3.3. 分析分析此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公 式分解。式分解。 解解 （三）分组分解法（三）分组分解法 方法介绍分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的方法介绍分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的 是为提取公因式，是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式以便顺利地达到分解因式 的目的。下面介绍八种常见的思路的目的。下面介绍八种常见的思路 1.1. 按公因式分组按公因式分组 例例 4.4. 分析分析此题有四项，考虑将它们分组，其中第此题有四项，考虑将它们分组，其中第 1 1、、2 2 项有公因式项有公因式 mm，第，第 3 3、、 4 4 项有公因式项有公因式 p p，可将它们分别分为一组。，可将它们分别分为一组。 解解 2.2. 按系数特点分组按系数特点分组 例例 5.5. 分析分析观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1 12 2，所以可考虑将，所以可考虑将 第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。 解解 3.3. 按字母次数特点分组按字母次数特点分组 例例 6.6. 分析分析此题有一次项，此题有一次项，也有二次项，也有二次项，可将一次项分为一组，可将一次项分为一组，二次项分为一组。二次项分为一组。 解解 4.4. 按公式特点分组按公式特点分组 例例 7.7. 分析分析此题可将第此题可将第 2 2、、3 3、、4 4 项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上 运用平方差公式。运用平方差公式。 解解 5.5. 拆项分组拆项分组 例例 8.8. 分析分析为了便于运用乘法公式，可将为了便于运用乘法公式，可将-3-3 拆成拆成-4-4＋＋1 1，再适当分组，达到因式分，再适当分组，达到因式分 解的目的。解的目的。 解解 7.7. 换元分组换元分组 例例 9.9. 分析分析观察代数式中的观察代数式中的 x x＋＋y y，，xyxy 可考虑用换元法，使之结构简化，可考虑用换元法，使之结构简化， 再分组。再分组。 解解，则，则 （四）待定系数法（四）待定系数法 方法介绍首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，方法介绍首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数，从而把多项式因式分解。求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例例 10.10. 分析分析观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解解 利用恒等式的性质可得利用恒等式的性质可得 （五）十字相乘法（五）十字相乘法 方法介绍对于方法介绍对于 mxmx2 2＋＋pxpx＋＋q q 形式的多项式，如果形式的多项式，如果 abab＝＝mm，，cdcd＝＝q q 且且 acac ＋＋bdbd＝＝p p，则多项式可因式分解为（，则多项式可因式分解为（axax＋＋d d）（）（bxbx＋＋c c）。）。 例例 11.11. 分析分析这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分 解因式解因式 解解 （六）巧用换元法（六）巧用换元法 方法介绍对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，方法介绍对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次， 化繁为简的目的。化繁为简的目的。 1.1. 取相同部分换元取相同部分换元 例例 12.12. 分析分析 若将上式展开，若将上式展开， 得到一个四次多项式，得到一个四次多项式， 更加难分解了，更加难分解了， 如将如将 mm2 2－－5m5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。 解解 三、分解因式三、分解因式 1 、x  2x 35x 2 、 3x 3x 53 、25x  2y  42y  x 4、x  4xy 1 4y5、x  x 2222 43262 6、x 17、ax bx bx  ax b  a8、x 18x 813