固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

. . 第四章总结第四章总结 第四章要求第四章要求 1 1、掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程以及、掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程以及 格波解的物理意义；格波解的物理意义； 2 2、掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波、掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波 与光学波的定义以及它们的物理本质；与光学波的定义以及它们的物理本质； 3 3、了解三维晶格的振动；、了解三维晶格的振动； 4 4、掌握离子晶体长光学波近似的宏观运动方程的建立过程及系、掌握离子晶体长光学波近似的宏观运动方程的建立过程及系 数确实定，清楚数确实定，清楚LSTLST关系及离子晶体的光学性质；关系及离子晶体的光学性质； 5 5、了解局域振动的概念；、了解局域振动的概念； 6 6、掌握晶格热容的量子理论；熟悉晶格振动模式密度；、掌握晶格热容的量子理论；熟悉晶格振动模式密度； 7 7、掌握非谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作用。、掌握非谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作用。 一维晶格的振动和三维晶格的振动一维晶格的振动和三维晶格的振动 晶格振动的晶格振动的简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 状态及能量状态及能量确定晶格振动谱的实验方法离子晶体的长波近似确定晶格振动谱的实验方法离子晶体的长波近似 热容热容 晶格振动的晶格振动的爱因斯坦模型爱因斯坦模型 热容量热容量德拜模型德拜模型 晶格状态方程晶格状态方程 非简谐效应非简谐效应热膨胀热膨胀 热传导热传导 word.zl. . . 一一 、晶格振动的状态及能量、晶格振动的状态及能量 1 1、一维单晶格的振动、一维单晶格的振动 一维单原子链一维单原子链 格波格波：晶格振动是晶体中诸原子〔离子〕集体地在作振动，由于晶体：晶格振动是晶体中诸原子〔离子〕集体地在作振动，由于晶体 内原子间有相互作用，内原子间有相互作用，存在相互联系，存在相互联系，各个原子的振动间都存在各个原子的振动间都存在 着固定的位相关系，着固定的位相关系，从而形成各种模式的波，从而形成各种模式的波，即各晶格原子在平即各晶格原子在平 衡位置附近作振动时，衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波这种波 称为格波。称为格波。 相邻原子之间的相互作用相邻原子之间的相互作用  d 2 v  dv F        d2   a d 说明存在于相邻原子之间的弹性恢复力是正比于相对位移的说明存在于相邻原子之间的弹性恢复力是正比于相对位移的 第第n n个原子的运动方程个原子的运动方程 色散关系色散关系：： 把把ωω与与q q之间的关系称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。之间的关系称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。 2 241 [1cosaq]sin2(aq) mm2 i(tnaq) m n ( n1  n1 2 n ) nq  Ae •• 其中波数为其中波数为 q  2/， ，是圆频率，是圆频率，是波长是波长 〔〔1 1〕〕 ““格波〞解的物理意义格波〞解的物理意义 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间不同原子之间 有位相差。相邻原子之间的位相差为有位相差。相邻原子之间的位相差为aqaq。。 〔〔2 2〕〕q q 的取值范围【－的取值范围【－( (π π/a)M，，将会出现将会出现共振共振 模模. . 隙模隙模: :晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率落在频隙之晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率落在频隙之 间，称为间，称为隙模隙模。。 二、晶格振动的热容量二、晶格振动的热容量 1 1、晶格热容的量子理论、晶格热容的量子理论 热容问题概述热容问题概述: : 〔〔1 1〕晶格热容和电子热容〕晶格热容和电子热容 固体的平均内能包括固体的平均内能包括晶格振动能量晶格振动能量和和电子运动能量电子运动能量，， 这两种运这两种运 动能量对固体的热容都有奉献，分别称为晶格热容和电子热容。动能量对固体的热容都有奉献，分别称为晶格热容和电子热容。 〔〔2 2〕杜隆－珀替定律〕杜隆－珀替定律 热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有 N N个原子的个原子的 固体，其热容为固体，其热容为CVCV＝＝3NkB3NkB 。。 其中其中N N为原子数，为原子数，kBkB为玻尔兹曼常数。为玻尔兹曼常数。 高温时，此定律与实验结果符合得很好；低温时，与实验结果高温时，此定律与实验结果符合得很好；低温时，与实验结果 不怎么符合。不怎么符合。 〔〔3 3〕热容〕热容CVCV的一般表达式的一般表达式 晶格振动频率为分立值的情形晶格振动频率为分立值的情形 d E j (T)k Td E j (T) j k B BC C VV/k T dTdT(e jB1)2 j1j1 3N3N  (  j)2ej/kBT  振动频率为连续值的情形振动频率为连续值的情形 word.zl. . .   E C v  () V  T m  0  2 e/kBT k B () /kBT g()d 2k BT (e1) 爱因斯坦模型爱因斯坦模型: : 〔〔1 1〕模型的特点〕模型的特点 认为晶格中认为晶格中各原子在振动时相互独立的，各原子在振动时相互独立的， 所有原子都以一样的频所有原子都以一样的频 率振动。率振动。 〔〔2 2〕晶格的热容〕晶格的热容 (  0 /k BT) 2e0/kBT eE/T 2 ECv 3NkBC V  3Nk B f E ()C 3Nk B () /T(e0/kBT1)2k BT V T(e E 1)2 〔〔3 3〕爱因斯坦模型与实验符合的程度〕爱因斯坦模型与实验符合的程度 E/T e1 1 1〕温度较高时：〕温度较高时： 那么那么 eE/T11T 2 () (eE/T1)2(eE/2TeE/2T)2 (  E  E)2  E 2T2T 所以所以 C V  3Nk B (E T )2( T  E )2 3Nk B E/T 与杜隆－珀替定律一致。与杜隆－珀替定律一致。 2 2〕低温时：〕低温时：e C V  3 Nk B ( 1  2 / k B T ) e k B T 爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的奉献爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的奉献 德拜模型德拜模型: : 〔〔1 1〕模型特点〕模型特点 把晶格看作是把晶格看作是各向同性的连续介质，格波为弹性波各向同性的连续介质，格波为弹性波，并且假定，并且假定 横波和纵波的波速相等。横波和纵波的波速相等。 word.zl. . . 〔〔2 2〕能量和热容的表达式〕能量和热容的表达式 3 m /kBT E  m  3Vd 22C3   0 e/kBT1 C 3V V  22C