排列组合难题二十一种

第第 1 1 章章随机事件及其概率随机事件及其概率 Pn m! m  (m n)! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 （1）排列 组合公式 Cn m! m  n!(m  n)! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 加法原理（两种方法均能完成此事）加法原理（两种方法均能完成此事） ：：m+nm+n （2）加法 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 和 乘 法 原 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 理 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：：m m××n n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些 重复排列和非重复排列（有序） 常见排列 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 试 验 和 随 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 机事件 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （5）基本 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 事件、样本 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 空 间 和 事 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 件 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件（Ω）的概率为1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ： A  B 如果同时有A  B，B  A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 （6）事件属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与B的差，记为A-B，也可 的 关 系 与 运算 表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。  -A 称为事件 A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生 的事件。互斥未必对立。 1 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)  i 德摩根率： Ai i1 A i1 A B  A B，A B  A B 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有 的 公 理 化 定义 P    Ai    P(Ai  ) i1  i1 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1°   1,2  n  ， 2° P( 1 1 )  P( 2 ) P( n )  n 。 （8）古典设任一事件 A，它是由 1,2  m 组成的，则有 概型 P(A)=( 1 )( 2 )( m ) =P( 1 ) P( 2 ) P( m )  mA n  所包含的基本事件数 基本事件总数 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 （9）几何概型。对任一事件 A， 概型 P(A)  L(A) L() 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 （10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减法当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 公式 当 A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且P(A)0，则称 P(AB) P(A) 为事件 A 发生条件下，事 （12）条件 概率 件 B 发生的条件概率，记为P(B/ A)  P(AB) P(A) 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) （13）乘法 乘法公式：P(AB)  P(A)P(B/ A) 公式 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)0，则有 P(A1A2 … An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) …… P(An| A1A2 … 2 An  1) 。 ①两个事件的独立性①两个事件的独立性 设事件 A、B 满足 P(AB)  P(A)P(B) ， 则称事件A、B是相互独立的。 若事件 A、B 相互独立，且 P(A)  0 ，则有 P(B | A)  P(AB)P(A)P(B)  P(B) P(A)P(A) （14）独立 性 若事件 A、B 相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。 必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1,B2,,Bn 满足 1° B1,B2,,Bn 两两互不相容， P(Bi)  0(i 1,2,,n) ， （15）全概 公式 2° 则有 A Bi i1 n ， P(A)  P(B1)P(A| B1)  P(B2)P(A| B2)  P(Bn)P(A| Bn) 。 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真 审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合 理恰当的方法来处理。 复习巩固复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第2 类办法中有m 2 种不同的方 法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： N  m 1 m 2  2.分步计数原理（乘法原理） m n 种不同的方法． 完成