振动综合训练

力学与工程学院力学与工程学院 振振 动动 力力 学学 综综 合合 训训 练练 （（ 二二 题题目目 基于基于 MATLABMATLAB 的振动问题数值计算的振动问题数值计算 班班级级 理力理力 14-114-1 班班______ ______ 姓姓名名 _______ _______ 组员组员 _____ _____ 指导教师指导教师 ______________________ 成成绩绩__________________________________________ 辽宁工程技术大学辽宁工程技术大学 力力 学学 与与 工工 程程 学学 院院 制制 ）） 摘要 自由振动的单摆在大角度摆动时，动力学方程是非线性的，非线性系统复杂行为的一 种重要研究方法就是数值计算法。通过理论分析，得到无阻尼、有阻尼、及弹簧单摆大角 度振动的动力学方程。利用 Matlab 软件，观察弹簧单摆的振动现象，求出弹簧单摆非线 性微分方程的数值解， 展现角度自由振动单摆周期与角振幅的关系曲线。 结果表明， Matlab 软件在振动问题中的应用，不仅实现了数值计算高效快捷、绘制图像形象直观，而且弥补 了实验的不足，为计算机辅助物理教学提供了一个较好的软件。 关键词：Matlab 软件;自由振动;单摆 Application of Matlab Software in Simple Pendulum FreeApplication of Matlab Software in Simple Pendulum Free OscillationOscillation ABSTRACTABSTRACT The dynamic equation is nonlinear and an important for the complex behavior of nonlinear systems is the numerical .Through theoretical analysis,the dynamic equation of vibration of undamped, damped and spring pendulum is obtained. Using Matlab software, the vibration phenomenon of spring single pendulum is observed and the numerical solution of the nonlinear differential equation of spring is obtained, and the relation curve of the single pendulum cycle and the Angle amplitude is presented. Results show that the application of Matlab software in the vibration problem,not only has realized the good efficient numerical computation, image visual image is drawn, and make up for the deficiency of the experiment, for computer assisted physics teaching provides a better software. Key words:Matlab software;free oscillation;simple pendulumKey words:Matlab software;free oscillation;simple pendulum 目录 1 小角度自由振动单摆周期 .1 2角振幅与单摆周期的关系 .2 2.1 角振幅与单摆周期的关系算法.2 2.2 角振幅与单摆周期的关系程序.2 2.3 单摆的周期与角振幅关系 matlab 图像 .3 3 单摆仿真.4 3.1 仿真算法 4 3.2 仿真图形 5 4 单摆微分方程的求解 6 4.1 理想模式下单摆的数学模型.6 4.2 仿真程序求解算法. 7 4.3 仿真求解图形. 8 4.4 m 文件求解. 8 4.5 求解图像 9 参考文献 .10 辽宁工程技术大学力学与工程学院振动力学综合训练（二） 0引言 自由振动是指系统在振动过程中不受激励作用的振动，可分为无阻尼振动和阻尼振动 [1]。单摆在不受激励时是最简单的自由振动模型，在大角度摆动时，动力学方程是非线性 的[2]，因此会表现出非线性系统的复杂行为，是经典力学通向非线性力学的桥梁 [3]。非线 性力学不借助 Matlab 软件的微分方程求解及可视化功能是很难说明的[4]。 本文利用 Matlab 软件，研究了单摆振动时的一些问题[5]。 1 小角度自由振动单摆周期 分析一个机械结构的振动特性时需要去掉某些次要因素，把其简化为动力学模型，同 时确定其自由度数。以摆动为例，最简单的是受力场中无阻尼的单摆模型，如图 1 所示设 摆锤质量为 m，角位置为θθ，摆锤的运动微分方程为: 图1 ft mg g θ l T T O d2 ml 2  mgsin dt d2g  sin(1.1) dt2l 在小角度的情况下，sin  ，可得 d2 2 0  0(1.2) 2dt 其中 0 g /l，ω0为圆频率。式(1.2)是单摆小角摆动时的微分方程，也是简谐振动的动 力学方程，式(1.2)的解为： 1 王文彬：MATLAB 在单摆振动中的应用  A cos(0 t ) 式中，A , 是由初值条件来决定的待定常数。 可知：单摆在小角度时作简谐振动，小角度周期为 T 0  2π  2π l (1.3) g 0 可见：在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。 2 角振幅与单摆周期的关系 2.1 角振幅与单摆周期的关系算法 对于任何一个角振幅 θ m ，通过 MATLAB 数值积分指令 quadl 和符号积分指令 int 都可 计算单摆的周期。利用 MATLAB 的完全椭圆积分指令 ellipke 也能计算单摆的周期。不过， MATLAB 定义的一类完全椭圆积分定义为 π/2 K(m) 周期可表示为  0 dx 1msin x 2 (2.1) T T 0 其中 2 K(m)(2.2) π msin2  m(2.3) 2 2.2 角振幅与单摆周期的关系程序 [程序] %单摆的周期(用内线函数数值积分和符号积分与椭圆积分比较) clear %清除变量 theta=1:179; %角振幅向量 thm=theta*pi/180; %角度化为弧度数 T0=ellipke(sin(thm/2).^2)*2/pi; %用椭圆积分计算单摆精确周期 T1=[]; %周期向量置空 T2=[];