初中几何辅助线大全最全
实用标准文档 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图例如：如图 7-17-1：已知：已知 ACAC＝＝BDBD，，ADAD⊥⊥ACAC 于于 A A ，，BCBC⊥⊥BDBD 于于 B B，，求证：求证：ADAD＝＝BCBC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD， △AOD 与△BOC，△ABD 与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设 法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点， ∵AD⊥AC BC⊥BD（已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 E A O B E E(公共角) ∵ DBE CAE(已证) BD AC(已知) ∴△DBE≌△CAE（AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 D 图7 1 C （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图例如：如图 9-19-1：在：在 RtRt△△ABCABC 中，中，ABAB＝＝ACAC，∠，∠BACBAC＝＝9090°，∠°，∠1 1＝∠＝∠2 2，，CECE⊥⊥BDBD 的延长于的延长于 E E 。。 求证：求证：BDBD＝＝2CE2CE 分析：要证 BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时 CE 与 F ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。 ∵BE⊥CF（已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 文案大全 A D B E 1 2 图91 C 实用标准文档 1 2(已知) ∵ BE BE(公共边) BEF BEC(已证) ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE= 1 CF（全等三角形对应边相等） 2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 BAC CAF(已证) BDA BFC(已证) AB＝AC(已知) ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图例如：如图 11-111-1：：ABAB＝＝DCDC，∠，∠A A＝∠＝∠D D 求证：∠求证：∠ABCABC＝∠＝∠DCBDCB。。 分析：由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有△ABN ≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在△ABN 和△DCN AN DN(辅助线的作法) 中∵ A D(已知) AB DC(已知) ∴△ABN≌△DCN（SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、 角相等） 在△NBM 与△NCM 中 A N D B M 图111 C NB＝NC(已证) ∵ BM＝CM(辅助线的作法) NM＝NM(公共边) ∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等） ∴∠NBC＋∠ABN ＝∠ NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。 文案大全 实用标准文档 巧求三角形中线段的比值 例例 1.1. 如图如图 1 1，在△，在△ABCABC 中，中，BDBD：：DCDC＝＝1 1：：3 3，，AEAE：：EDED＝＝2 2：：3 3，求，求 AFAF：：FCFC。。 解：过点 D 作 DG//AC，交 BF 于点 G 所以 DG：FC＝BD：BC 因为 BD：DC＝1：3所以 BD：BC＝1：4 即 DG：FC＝1：4，FC＝4DG 因为 DG：AF＝DE：AE又因为 AE：ED＝2：3 所以 DG：AF＝3：2 即 例例 2.2. 如图如图 2 2，，BCBC＝＝CDCD，，AFAF＝＝FCFC，求，求 EFEF：：FDFD 所以 AF：FC＝：4DG＝1： 6 解：过点 C 作 CG//DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GC＝AF：AC 因为 AF＝FC所以 AF：AC＝1：2 即 EF：GC＝1：2， 因为 CG：DE＝BC：BD又因为 BC＝CD 所以 BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2即 DE＝2GC 因为 FD＝ED－EF＝ 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现 的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两 例，让我们感受其中的奥妙！ 例例 3.3. 如图如图 3 3，，BDBD：：DCDC＝＝1 1：：3 3，，AEAE：：EBEB＝＝2 2：：3 3，求，求 AFAF：：FDFD。。 所以 EF：FD＝ 解：过点 B 作 BG//AD，交 CE 延长线于点 G。 所以 DF：BG＝CD：CB 因为 BD：DC＝1：3所以 CD：CB＝3：4 文案大全 实用标准文档 即 DF：BG＝3：4， 因为 AF：BG＝AE：EB又因为 AE：EB＝2：3 所以 AF：BG＝2：3即 所以 AF：DF＝ 例例 4.4. 如图如图 4 4，，BDBD：：DCDC＝＝1 1：：3 3，，AFAF＝＝FDFD，求，求 EFEF：：FCFC。。 解：过点 D 作 DG//CE，交 AB 于点 G 所以 EF：DG＝AF：AD 因为 AF＝FD所以 AF：AD＝1：2 即 EF：DG＝1：2 因为 DG：CE＝BD：BC，又因为 BD：CD＝1：3，所以 BD：BC＝1：4 即 DG：CE＝1：4，CE＝4DG 因为 FC＝CE－EF＝ 所以 EF：FC＝＝1：7 练习： 1.1. 如图如图 5 5，，BDBD＝＝DCDC，，AEAE：：EDED＝＝1 1：：5 5，求，求 AFAF：：FBFB。。 2.2. 如图如图 6 6，，ADAD：：DBDB＝＝1 1：：3 3，，AEAE：：ECEC＝＝3 3：：1 1，求，求 BFBF：：FCFC。。 答案：1、1：10； 2. 9：1 文案大全 4图 实用标准文档 二二 由角平分线想到的辅助线由角平分线想到的辅助线 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试
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