初中几何辅助线大全最全

实用标准文档 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形 例如如图例如如图 7-17-1已知已知 ACAC＝＝BDBD，，ADAD⊥⊥ACAC 于于 A A ，，BCBC⊥⊥BDBD 于于 B B，，求证求证ADAD＝＝BCBC 分析欲证 AD＝BC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案△ADC 与△BCD， △AOD 与△BOC，△ABD 与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设 法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明证明分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点， ∵AD⊥AC BC⊥BD（已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90 （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 E A O B E  E公共角 ∵  DBE  CAE已证 BD  AC已知  ∴△DBE≌△CAE（AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即AD＝BC。 D 图7 1 C （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如如图例如如图 9-19-1在在 RtRt△△ABCABC 中，中，ABAB＝＝ACAC，∠，∠BACBAC＝＝9090，∠，∠1 1＝∠＝∠2 2，，CECE⊥⊥BDBD 的延长于的延长于 E E 。。 求证求证BDBD＝＝2CE2CE 分析要证 BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时 CE 与 F ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明分别延长 BA，CE 交于点 F。 ∵BE⊥CF（已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90 （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 文案大全 A D B E 1 2 图91 C 实用标准文档 1 2已知 ∵  BE  BE公共边 BEF  BEC已证  ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CEFE 1 CF（全等三角形对应边相等） 2 ∵∠BAC90 BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90∠1＋∠BDA＝90∠1＋∠BFC＝90 ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 BAC  CAF已证  BDA  BFC已证 AB＝AC已知  ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如如图例如如图 11-111-1ABAB＝＝DCDC，∠，∠A A＝∠＝∠D D 求证∠求证∠ABCABC＝∠＝∠DCBDCB。。 分析由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有△ABN ≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 ANDN，BMCM，在△ABN 和△DCN AN  DN辅助线的作法 中∵  A  D已知 AB  DC已知  ∴△ABN≌△DCN（SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、 角相等） 在△NBM 与△NCM 中 A N D B M 图111 C NB＝NC已证 ∵ BM＝CM辅助线的作法 NM＝NM公共边  ∴△NMB≌△NCM，SSS ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等） ∴∠NBC＋∠ABN ＝∠ NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。 文案大全 实用标准文档 巧求三角形中线段的比值 例例 1.1. 如图如图 1 1，在△，在△ABCABC 中，中，BDBDDCDC＝＝1 13 3，，AEAEEDED＝＝2 23 3，求，求 AFAFFCFC。。 解过点 D 作 DG//AC，交 BF 于点 G 所以 DGFC＝BDBC 因为 BDDC＝13所以 BDBC＝14 即 DGFC＝14，FC＝4DG 因为 DGAF＝DEAE又因为 AEED＝23 所以 DGAF＝32 即 例例 2.2. 如图如图 2 2，，BCBC＝＝CDCD，，AFAF＝＝FCFC，求，求 EFEFFDFD 所以 AFFC＝4DG＝1 6 解过点 C 作 CG//DE 交 AB 于点 G，则有 EFGC＝AFAC 因为 AF＝FC所以 AFAC＝12 即 EFGC＝12， 因为 CGDE＝BCBD又因为 BC＝CD 所以 BCBD＝12 CGDE＝12即 DE＝2GC 因为 FD＝ED－EF＝ 小结以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现 的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两 例，让我们感受其中的奥妙 例例 3.3. 如图如图 3 3，，BDBDDCDC＝＝1 13 3，，AEAEEBEB＝＝2 23 3，求，求 AFAFFDFD。。 所以 EFFD＝ 解过点 B 作 BG//AD，交 CE 延长线于点 G。 所以 DFBG＝CDCB 因为 BDDC＝13所以 CDCB＝34 文案大全 实用标准文档 即 DFBG＝34， 因为 AFBG＝AEEB又因为 AEEB＝23 所以 AFBG＝23即 所以 AFDF＝ 例例 4.4. 如图如图 4 4，，BDBDDCDC＝＝1 13 3，，AFAF＝＝FDFD，求，求 EFEFFCFC。。 解过点 D 作 DG//CE，交 AB 于点 G 所以 EFDG＝AFAD 因为 AF＝FD所以 AFAD＝12 即 EFDG＝12 因为 DGCE＝BDBC，又因为 BDCD＝13，所以 BDBC＝14 即 DGCE＝14，CE＝4DG 因为 FC＝CE－EF＝ 所以 EFFC＝＝17 练习 1.1. 如图如图 5 5，，BDBD＝＝DCDC，，AEAEEDED＝＝1 15 5，求，求 AFAFFBFB。。 2.2. 如图如图 6 6，，ADADDBDB＝＝1 13 3，，AEAEECEC＝＝3 31 1，求，求 BFBFFCFC。。 答案1、110； 2. 91 文案大全 4图 实用标准文档 二二 由角平分线想到的辅助线由角平分线想到的辅助线 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试