数列递推与通项公式22种归类（学生版）
数列递推与通项公式数列递推与通项公式2222种归类种归类 目录 一、一、 热点题型归纳热点题型归纳 【题型一】 归纳法求通项 【题型二】 等差等比定义型 【题型三】 累加法基础： 等差等比与裂项求和型 【题型四】 累加法拔高： 换元累加型 【题型五】 累加法拔高： 构造 【题型六】 累积法 【题型七】 前n项和型 【题型八】 二阶等比 【题型九】 二阶等差数列 【题型十】 sn与an型： 消sn型 【题型十一】 sn与an型： 消an型 【题型十二】 分式倒数递推 【题型十三】 新数列前n项和型 【题型十四】 高次幂取对数型 【题型十五】 二阶含n等比数列型 【题型十六】 二阶含n等差数列型 【题型十七】 因式分解型 【题型十八】 三阶递推 【题型十九】 前n项积求通项 【题型二十】 函数型递推 【题型二十一】 周期数列 【题型二十二】 奇偶讨论型 二、二、 真题再现真题再现 三、三、 模拟检测模拟检测 综述： 数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往 往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。 一、 热点题型归纳一、 热点题型归纳 【题型一】 归纳法求通项【题型一】 归纳法求通项 【典例分析】【典例分析】 1. ( (20212021· ·全国全国· ·高三课时练习高三课时练习) )根据下面的图形及相应的点数， 写出点数构成的数列的一个通项公式， 并在 横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. (1) __________ 1 6 11 16 () (2) __________ 1 4 7 10 () (3) __________ 3 8 15 24 () 2. ( (20212021· ·江苏江苏· ·高三专题练习高三专题练习) )数列-1,1,- 9 5 , 27 7 ,⋅⋅⋅的一个通项公式为________. 【提分秘籍】【提分秘籍】 基本规律基本规律 先通过计算数列的前几项， 再观察数列中的项与系数， 根据an与项数n的关系， 猜想数列的通项公式， 最后再证明. 一般这类题， 选择题很少， 因为可以代特殊值求解。 【变式演练】【变式演练】 1. ( (20212021· ·全国全国· ·高三课时练习高三课时练习) )根据下面的图形及相应的点数， 写出点数构成的数列的一个通项公式an=_ _________． 2. ( (20182018· ·全国全国· ·高三课时练习高三课时练习) )若数列的前4项为1,0,1,0， 则这个数列的通项公式不可能是 A. an= 1 2 [1+(-1)n-1]B. an= 1 2 [1-cos(n·180∘)] C. an=sin2(n·90∘)D. an=(n-1)(n-2)+ 1 2 [1+(-1)n-1] 3. ( (20182018· ·上海市杨浦高级中学高三期末上海市杨浦高级中学高三期末) )已知数列1、 0、 1、 0、 ⋯， 可猜想此数列的通项公式是( ). A. an= 1+ -1 n-1 n∈N * B. an= 1 2 1+ -1 n n∈N * C. an= 1 2 1+ -1 n+1 + n-1n-2n∈N * D. an= 1 2 1-cosnπn∈N * 【题型二】 等差等比定义型【题型二】 等差等比定义型 【典例分析】【典例分析】 1. ( (20222022· ·全国全国 · ·高三课时练习高三课时练习 ) )在数列 an中， a1=2， an+1=an+2， 则数列 an的通项公式为 ___ _____． 【提分秘籍】【提分秘籍】 基本规律基本规律 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差， 直接作差” ， 即证an+1-an=定值； ②等差中项法： 即证2an+1=an+an+2； ③函数结论法： 即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法： (1)定义法：“欲证等比， 直接作比” ， 即证 an+1 an =q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法： 即证a2n+1=an·an+2(anan+1an+2≠0， n∈N N *)⇔数列{a n}是等比数列． 【变式演练】【变式演练】 1. ( (20222022· ·河南河南· ·模拟预测模拟预测( (文文)) ))已知数列 an是单调递增的等差数列， 若它的前 5项的和为105， 第2项､ 第 4项､ 第8项成等比数列， 则它的通项公式为( ) A. an=7n或an=21B. an= 7n2 2 C. an=7nD. an= 7n n+1 2 2. ( (20192019北京北京· ·临川学校高三阶段练习临川学校高三阶段练习( (理理)) ))成等差数列的三个正数的和等于6， 并且这三个数分别加上3、 6、 13后成为等比数列 bn中的b3、 b4、 b5， 则数列 bn的通项公式为 () A. bn=2n-1B. bn=3n-1C. bn=2n-2D. bn=3n-2 3. ( (20212021· ·甘肃甘肃 · ·静宁县第一中学高三阶段练习静宁县第一中学高三阶段练习 ( (文文)) ))数列 an的各项都是正数， a1=2， a2n+1=a2n+2， 那么 此数列的通项公式为an=________． 【题型三】 累加法基础： 等差等比与裂项求和型【题型三】 累加法基础： 等差等比与裂项求和型 【典例分析】【典例分析】 1. ( (20222022· ·全国全国· ·高三专题练习高三专题练习) )已知Sn是等差数列 an的前n 项和， 其中S3=6,S4=10， 数列 bn满足b1= 1， 且bn+an=bn+1， 则数列 bn的通项公式为( ) A. n2+2 2 B. n2-n+2 2 C. n2 2 D. n2+n+2 2 【提分秘籍】【提分秘籍】 基本规律基本规律 累加法：累加法： 若在已知数列中相邻两项存在：an-an-1= f(n)(n≥2)的关系， 可用“累加法”求通项. 其中其中 f f( (n n) )是常见可求和的数列通项， 如等差， 等比， 和裂项型求和是常见可求和的数列通项， 如等差， 等比， 和裂项型求和 【变式演练】【变式演练】 1. (2020·湖南·长郡中学三模(文))已知等比数列 an满足8a4-a7=0， a1,a2+1,a3且成等差数列．若数 列 bn满足bn+1=an+bn(n∈N*)， 且b1=1， 则数列 bn的通项公式bn= A. 21-nB. 2n-1C. 2n+1D. 22n+1 2. (2020· 内蒙古· 包头市第六中学高三期中 )在数列 {an} 中,a1= 3,an+1= an+ 3 n(n+1) ,则通项公式 an = ______. 【题型四】 累加法拔高： 换元累加型【题型四】 累加法拔高： 换元累加型 【典例分析】
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