实际流体动力学基础

第第五五章章实实际际流流体体动动力力学学基基础础 5—1 设在流场中的速度分布为 ux=2ax，uy=-2ay，a 为实数，且 a0。试求切应力 τxy、τyx和附加压 应力 p′x、p′y以及压应力 px、py。 解： xy u y u x   yx    0  xy  u y u x p  2 4a， ， p  2 4a yx yx p x  p p x  p4a ，py  p  p y  p  4a 沿x 这 种 两 平 中 讨 5－2 设例５－1 中的下平板固定不动，上平板以速度 v 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的 流动，称柯埃梯（Couette）流动。试求在这种流动情况下， 板间的速度分布。（请将 dp  0时的这一流动与在第一章 dx 论流体粘性时的流动相比较） 解：将坐标系 ox 轴移至下平板，则边界条件为 y＝０，u X  u  0；y  h，u  v。 由例５－1 中的（11）式可得 h2dp yyy (1)u v （１） h2dx hh dpy 当  0时，u v，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切 dxh 流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当 为 dp  0时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布 dx uyyy p( 1 ) （２） vhhh h2dp () （３）式中p  2vdx 当 p＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当 p＜０时，沿流动方 向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生 p＜－１的情况． 5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维 —斯托克斯方程和连 r gh3r g 2sinq 。 sinq(2zh- z )，单宽流量q = 续性方程，证明过流断面上的速度分布为ux= 3m2m 解：（1）因是恒定二维流动， ux u ， u y = 0 ， 斯方程和连续性方程可 ¶u x ¶u y ¶u z=== 0 ， 抖 tt?t u z = 0，由纳维——斯托克 得 1 p2u x ux1 p f x  0f  0 ，，  0 z xz2zx f x = gsinq，f z = - gcosq。因是均匀流，压强分布与 x 无关， 克斯方程可写成 p  0，因此，纳维——斯托 x 2u x 1 p gsin 0gcos 0 ， 2zz 因 ux只与 z 方向有关，与 x 无关，所以偏微分可改为全微分，则 m d2u x du x g gsinq+= 0s i nz C 1 ，，积分得 2rdzdz duxg u x  sinz2C 1z C2 ， 当 z = 0 ， u x = 0 ； z  h ， = 0 ， 得 2dz r gggr g C 1 =s iqh n，C20，u x  sinz2sinhz，u x =sinq(2zh- z2) m22m （2）q = 蝌u dz = 0 x hh 0 r gh3r gh3r g 32sinq(h -)=sinq 。 sinq(2zh- z )dz= 2m33m2m 5－4设有两艘靠得很近的小船，在河流中等速并列向前行驶，其平面位置，如图 a 所示。（1）试 问两小船是越行越靠近，甚至相碰撞，还是越行越分离。为什么？若可能要相碰撞，则应注意，并事先 设法避免。（2）设小船靠岸时，等速沿直线岸平行行驶，试问小船是越行越靠岸，还是越离岸，为什 么？（3）设有一圆筒在水流中，其平面位置如图 b 所示。当圆筒按图中所示方向（即顺时针方向）作等 角转速旋转，试问圆筒越流越靠近 D 侧，还是 C 侧，为什么？ pu2 + 解：（1）取一通过两小船的过流断面，它与自由表面的交线上各点的z+应相等。现两 r g2g 船间的流线较密，速度要增大些，压强要减小些，而两小船外侧的压强相对要大一些，致使将两小船推 向靠近，越行越靠近，甚至可能要相碰撞。事先应注意，并设法避免、预防。 （2）小船靠岸时，越行越靠近岸，理由基本上和上面（1）的相同。 （3）因水流具有粘性，圆筒旋转后使靠 D 侧流速增大，压强减小，致使越流越靠近 D 侧。 5 -5设 有压 圆管 流（湍 流）， 如图 所 示， 已知 过流 断面 y 上的流速分布为u  umax( )7，u max 为管轴处的最大流速。试求断面平均流速 v（以 umax表示）和动 r 0 能修正系数 α 值。 解：设n= 1 1 ， 7 5－6设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内恒定水流的流量，如图所示。已知 d1 =0.10m，d2 =0.05m，压差计读数 h＝0.04ｍ，文丘里管流量系数 μ =0.98，试求流量 Q。 解：由伯努利方程得 2p 1  1v1 2p 2  2v2 z 2 z 1  （１） g2gg2g 由连续性方程得 v 1  ( d 2 2 0.05 2) v 2  () v 2  0.25v 2 （２） d 1 0.1 由压差计得 p 1 g(z 1  z 2  z h)  p 2 gz  Hg gh (g g)h( Hg )pp h(1 z 1)( 2 z 2 ) Hg ggg pp136001000 (1 z 1)( 2 z 2 ) ()h 12.6h （３） gg1000 将式（２）（３）代入（１）得 212.60.0429.80.9375v 2m/s  3.246m/s12.6h  ，v2  0.93752g 2 πd 2 π Q v 2 0.0523.246m3/s  6.37103m3/s 44 5－7设用一附有水银压差计的文丘里管测定铅垂管内恒定水流流量，如图所示。已知d1 =0.10m，d2 =0.05m，压差计读数 h＝0.04ｍ，文丘里管流量系数 μ =0.98，试求流量Q．请与习题 5－6、 例 5－4 比较，在相同的条件下，流量 Q 与文丘里管倾斜角是否有关。 解：与习题５－6 的解法相同，结果亦相同，（解略）．它说明流量 Q 与倾斜角无关． 5－8利用文丘里管的喉道负压抽吸基坑中的积水，如图所示。已知 d1=50mm，d2 =100mm，h =2m，能量损失略去不计，试求管道中的流量至少应为多大，才能抽出基坑中的积水。 解：对过流断面 1－１、２－２写伯努利方程，得 Q  2 m3/s  0.0127m3/s，所以管道中流量至少应为0.0127m3/s。 12419 5－9密度为860kg/m3的液体，通过一喉道直径 d1=250mm的短渐扩管排入大气中，如图所示。已 知 渐 扩 管 排 出 口 直 径 d2 =750mm ， 当 地 大 气 压 强为 92kPa ， 液 体 的 汽 化