学而思奥数第六级逆向思维进阶邹、陈、罗

学而思奥数第六级 第五讲逆向思维进阶 还原问题也称逆运算问题，是指已知某个数经过加、减、乘、除等运算后所 得的结果，反求原数。解答这类问题，通常利用加与减、乘与除互为逆运算的道 理，根据题目叙述的顺序，从结果出发由后向前逆推运算。 本周我们主要学习以下三种解题方法及对应的情况： （1）符号还原：有明显的四则运算关系，可以用流程图表示题意； （2）线段图还原：同一个量的基础上增加或减少； （3）表格还原：多个总量之间相互交换。 符号还原符号还原 请在正确的结论后面打“√” ，错误的结论后面打“×” ： （1）□+6=8，□=8-6（） （2）□-6=8，□=8-6（） （3）□÷6=8，□=8×6（） （4）□×2=8，□=8÷2（） 用结果倒退求原数时要变号： “+”变“-” ， “-”变“+” ， “×”变“÷” ， “÷” 变“×” 。 例例 1.1.有一位老人说： “把我的年龄加上 17 用 4 除，再减去 15 后用 10 乘，恰巧是 100 岁。 ”这位老人今年多少岁？ 解：图形思想： ？ -15 +17 ×10 ÷4 换个角度想一想： 根据题目计算顺序画出这 位老人家年龄变化的流程图， 然 后从结果倒退， 倒退的时候注意 要变号。 1 100 还原思想： 83 17- 100 4× 25 15+ 10 10÷ 100 （100÷10+15）×4-17=83（岁） 答：这位老人今年 83 岁。 方法总结： 符号法倒退时， 从结果入手， 加号变减号， 减号变加号， 乘号变除号， 除号变乘号。 练习一 1、当当的爷爷今年的年龄减去 15 岁后，缩小4 倍，再减去6 之后，乘以10，恰 好是 100 岁。当当的爷爷今年多少岁？（画出流程图） 2、小军问爸爸今年多少岁。爸爸说： “用我的年龄减去 8，除以5，再加上2，乘 以 4，正好是 32 岁。 ”请算一算，小军的爸爸今年多少岁？ 3、小红、小丽、小敏三个人各有年历卡片若干张。如果小红给小丽13 张，小丽 给小敏 23 张，小敏给小红3 张，那么她们每人各有40 张。原来三个人各有年历 卡片多少张？ 换个角度想一想： 一个流程图能不能将三种 不同的变化过程表示出来？需 要画几个流程图呢？ 2 线段图还原线段图还原 请在正确的结论后面打“√” ，错误的结论后面打“×” ： （1）一个数的一半是 10，那么这个数是 10×2=20。（） （2）一个数的一半多 5 是 10，那么这个数是（10+5）×2=30。（） （3）一个数的一半少 5 是 10，那么这个数是（10-5）×2=10。（） 已知一个数的一半多 （少） 几是多少， 求这个数时， 用倒推法， 用结果减去 （加 上）多的差再乘 2。 例例 2.2.某人去储蓄所取款， 第一次取了存款数的一半还多 5 元， 第二次取了余下的 一半还多 5 元，还剩 125 元。他原有存款多少元？ 解： 第一次后： （125+5）×2=260（元） 开始： （260+5）×2=530（元） 答：他原有存款 530 元。 方法总结：画出线段图，倒推时，遇多就加，遇少就减，先求一半，然后乘2。 练习二 1、某人从甲地到乙地。他第一次行了全程的一半多 5 千米，第二次行了余下的 一半少 10 千米，第三次行了20 千米，这时他离乙地还有5 千米。甲乙两地相距 多少千米？（画出线段图） 开始 第一次之后 第二次之后 125 5 5 换个角度想一想： 如图，要想求出每条 线段代表的钱数，必须先 求出每条线段的一半代表 的钱数，然后乘 2。 3 2、爸爸买了一些橘子。全家人第一天吃了这些橘子的一半多1 个，第二天吃了 剩下的一半多 1 个，第三天又吃了剩下的一半多1 个，还剩下1 个。问：爸爸买 了多少个橘子？ 3、批发站有若干筐苹果，第一天卖出一半，第二天运进450 筐，第三天又卖出 现有苹果的一半又 50 筐，还剩 600 筐。问：这个批发站原有苹果多少筐？ 表格还原表格还原 请在正确的结论后面打“√” ，错误的结论后面打“×” ： （1）A 和 B 共买了 10 个苹果， A 拿了 2 个苹果送给 B 之后， A、 B 共有 8 个苹果。 （2）A 和 B 共买了 10 个苹果， A 拿了 2 个苹果送给 B 之后， A、 B 共有 10 个苹果。 （3）A 有 10 个苹果，B 有 11 个苹果，C 有 12 个苹果，C 给 A5 个苹果，给B3 个 苹果，现在 A、B、C 共有 41 个苹果。（） 在几个数量之间互相交换，总数量不变。 例例 3.3.甲、乙、丙一共有 36 本故事书。甲 解：36÷3=12（本） 向丙借了 3 本，甲给了乙 4 本，乙给了丙 5 本，这样甲、乙、丙正好相等。求他们 各原有多少本书。 （单位：本） 甲 12 12 16-3=13 乙 12 12+5=17 13 丙 12 12-5=7 7 7+3=10 12+4=1617-4=13 答：甲原有故事书 13 本，乙原有故事书 13 本，丙原有故事书 10 本。 4 方法总结： 根据变化前后的总数不变， 先求出最后每个人的数量， 然后画出表格， 从结果依次倒推求出原来的数量。 练习三 1、甲、乙、丙、丁四个小朋友一共有彩色玻璃弹子100 颗。甲给乙13 颗，乙给 丙 18 颗，丙给丁 6 颗，丁给甲 2 颗后四人的弹子数相等。他们原来各有弹子多 少颗？（画出表格） 2、有 26 本书，兄弟两人争着去拿。弟弟抢在前面，刚拿到手上，哥哥赶到了。 哥哥看弟弟拿得太多，除了拿走剩下的书，还抢走弟弟的一半。弟弟不服，又从 哥哥那儿抢走一半，哥哥不肯，弟弟还给了哥哥 5 本。这时，哥哥比弟弟多拿 2 本。问：最初弟弟拿走了多少本？ 3、甲、乙、丙三人各有铜钱若干枚。开始甲把自己的铜钱拿出一部分给了乙、 丙，使乙、丙的铜钱数各增加了一倍；后来乙也照此办理，使甲、丙的铜钱数各 增加了一倍；最后丙也照此办理，使甲、乙的铜钱数各增加了一倍。这时三个人 的铜钱数都是 8 枚。原来甲、乙、丙三人各有多少枚铜钱？ 换个角度想一想： 从最后三人的铜钱数倒 推，使别人增加一倍，也就是 对方原来是现在的一半。 5 综合练习 1、有一箱图书，小红拿走了一半多 1 本，小丽拿走剩下的一半多 2 本，小强再 拿走剩下的一半多 3 本，箱里还剩 2 本。问：这箱图书共有多少本？ 2、甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书 280 本。班主任老师提议让四个组的 书一样多，得到拥护，于是从甲调 14 本给乙，从乙调 15 本给丙，从丙调 17 本 给丁，从丁调 18 本给甲，这时四个组的书一样多。请问甲组原来有多少本书？ 3、篮中有许多梨子。如果将其中的一半又 1 个给第一个人，将余下的一半又 2 个给第二个人， 然后将剩下的一半又 3 个给第三个人， 篮中刚好一个也不剩。 问： 篮中原来有多少个梨子？ 4、笑笑和淘气各有画片若干张。如果笑笑拿出和淘气同样多的画片送给淘气， 淘气再拿出和笑笑同样多的画片给笑笑，这时两个人都有24 张。问：笑笑和淘 气原来各有画片多少张？ 6 5、姐妹三人分48 个苹果。如果老三先把所得苹果的一半平分给老大、老二，接 着老二把自己现有苹果的