机械制图第4章截切体与相贯体的投影

第第 4 4 章章 截切体与相贯体的投影截切体与相贯体的投影 前面提到：各种形状的机件虽然复杂多样，但都是由一些简单的基本体经过叠 加、切割或相交等形式组合而成的。那么，基本体被平面截切后的剩余部分，就称为 截切体。两基本体相交后得到的立体，就叫相贯体。它们由于被截切或相交，会在表 面上产生相应的截交线或相贯线。了解它们的性质及投影画法，将有助于我们对机件 形状结构的正确分析与表达。 4 4．．1 1 截切体截切体 4 4．．1 1．．1 1 截切体的有关概念及性质截切体的有关概念及性质 如图 4-1 示，正六棱柱被平面Ｐ截为两部分，其中用来截切立体的平面称为截平 面；立体被截切后的部分称为截切体；立体被截切后的断面称为截断面；截平面与立 体表面的交线称为截交线。 图 4-1 立体的截交线 尽管立体的形状不尽相同，分为平面立体和曲面立体，截平面与立体表面的相对 位置也各不相同，由此产生的截交线的形状也千差万别，但所有的截交线都具有以下 基本性质： 1．共有性截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面 上，是截平面与立体表面共有点的集合。 2．封闭性由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是封闭的平面图形（平面 多边形或曲线）。 根据截交线的性质，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点，然 后依次连接即可。求截交线的方法，即可利用投影的积聚性直接作图，也可通过作辅 助线的方法求出。 4 4．．1 1．．2 2 平面截切体平面截切体 由平面立体截切得到的截切体，叫平面截切体。 1 因为平面立体的表面由若干平面围成，所以平面与平面立体相交时的截交线是一 个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每 条边是平面立体的棱面与截平面的交线。因此求作平面立体上的截交线，可以归纳为 两种方法： （1）交点法：即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接 起来，即得截交线。 连接各交点有一定的原则：只有两点在同一个表面上时才能连接，可见棱面上的 两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。 （2）交线法：即求出平面立体的各表面与截平面的交线。 一般常用交点法求截交线的投影。两种方法不分先后，可配合运用。 求平面立体截交线的投影时，要先分析平面立体在未截割前的形状是怎样的，它 是怎样被截割的，以及截交线有何特点等，然后再进行作图。 具体应用时通常利用投影的积聚性辅助作图。 1． 棱柱上的截交线 【例【例 4-14-1】】 如图 4-2a 所示，求作五棱柱被正垂面Pv 截断后的投影。 解： （1）分析 截平面与五棱柱的五个侧棱面均相 交，与顶面不相交，故截交线为五边形 ABCDE 。 （2）作图，如图 4-2a 所示 1）由于截平面为正垂面，故截交线的V 面投影 a′b′c′d′e′已知；于是截交 线的 H 面投影 abcde 亦确定； 2） 运用交点法，依据“主左视图高平齐”的投影关系，作出截交线的W 面投影 a″b″c″d″e″； 3）五棱柱截去左上角，截交线的H 和 W 投影均可见。截去的部分，棱线不再画 出，但有侧棱线未被截去的一段，在W 投影中应画为虚线。 (3）检查、整理、描深图线，完成全图，如图4-2b 所示。 2 d c a b e Pv d“ b“ e“ c“ a“ bd a c e a)b) 图 4-2作五棱柱的截交线 2．棱锥上的截交线 【例【例 4-24-2】】 求作正垂面 P 截割四棱锥 S-ABC 所得的截交线。见图 4-3a 。 解： （1）分析 1）截平面 P 与四棱锥的四个棱面都相交，截交线是一个四边形； 2）截平面 P 是一个正垂面，其正面投影具有积聚性； 3）截交线的正面投影与截平面的正面投影重合，即截交线的正面投影已确定，只 需求出水平投影。 （2）作图, 如图 4-3a 所示 1）因为 PV具有积聚性，所以PV与 s′a′、s′b′、s′c′和 s′d′的交点 1′、2′、3′和 4′即为空间点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的正面投影； 2)利用从属关系，向下引铅垂线求出相应的点1、2、 3 和 4； 3)四边形 1234 为截交线的水平投影。线段1′2′3′4′为截交线的正面投影。 各投影均可见。 (3）检查、整理、描深图线，完成全图，如图4-3b 所示。 3 S Pv 4“ 3 (4 ) 2 (1 ) 1“ S“ 3“ 2“ b (a )c (d ) a“(d“)b“(c“) a 1 S 4 d 2 b 3 c a)b) 图 4-3 正垂面 P 与四棱锥 S-ABCD 的截交线 【例【例 4-34-3】】 如图 4-4a 所示，求作铅垂面 Q 截割正三棱锥 S-ABC 所得的截交线。 解： （1）分析 1）截平面 Q 与正三棱锥的三个棱面、一个底面都相交，截交线是一个四边形； 2）截平面 Q 是一个铅垂面，其水平投影具有积聚性； 3）截交线的水平投影与截平面的水平投影重合，即截交线的水平投影已确定，只 需求 出正面投影。 （2）作图,如图 4-4a 所示 1）因为 QH具有积聚性，所以 QH与 ac、sa、sb、和 bc 的交点 1、2、3 和 4 即为 空间点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的水平投影。 2）利用从属关系，向上引铅垂线求出相应的点1′、2′、3′和 4′ 。 3）连接 1′2′3′4′，四边形 1′2′3′4′为截交线的正面投影，线段1′2′ 不可见，画成虚线，线段1234 为截交线的水平投影。 (3）检查、整理、描深图线，完成全图，如图4-4b 所示。 以上两题都是利用截平面投影的积聚性作图。 4 S 3 2 2“ S“ 3“ 1 a b 4 1“ c a“(c“) 4“ b“ 1 a 2 s 3 4 Qh b c a)b) 图 4-4 铅垂面 QH与正三棱锥 S-ABC 的截交线 3．带缺口的平面立体的投影 绘制带缺口的立体的投影图，在工程制图中经常出现，这种制图的实质仍然是求 平面截交立体的问题。 【例【例 4-44-4】】 如图 4-5a 所示，已知带有缺口的正六棱柱的V 面投影，求其 H 面和 W 面投影。 解： （1）分析 1）从给出的V 面投影可知，正六棱柱的缺口是由两个侧平面和一个水平面截割 正六棱柱而形成的。只要分别求出三个平面与正六棱柱的截交线以及三个截平面之间 的交线即可。 2）这些交线的端点的正面投影为已知，只需补出其余投影。 3）Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ四点是左边的侧平面与立体相交得到的点，Ⅲ、Ⅳ、Ⅸ、Ⅹ是 右边的侧平面与立体相交得到的点，Ⅴ、Ⅵ两点为前后棱线与水平面相交得到上的 点，其中直线Ⅶ、Ⅷ和Ⅸ、Ⅹ又分别是左右两侧平面与水平面相交所得的交线。 （2）作图,如图 4-5a 所示 1）利用棱柱各侧棱面的积聚性、点与直线的从属性及“主左视图高平齐”的投影 关系依次作出各点的三面投影。 2）连接各点。将在同一棱面又在同一截平面上的相邻点的同面投影相连。 3）判别可见性。只有 7〞8〞、9〞10〞交线不可见，画成虚线。 (3）检查、整理、描深图线，完成全图，如图4-5b 所示。 5 1 (2 )3 (4 )2“(4“)1“(3“) 5 (6 ) 7 (8 )9 (10 )6