极限运算法则两个重要极限

复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限 2．3 极限的运算法则 2．3．1 极限的性质 定理 1：（唯一性）如果极限 讲述 我们先介绍极限的运算 法则 证明从略。 xx0 lim f (x) 存在，则它只有一个极限。即若 lim f (x)  A，lim f (x)  B ，则A  B 定理 2 ： （有界性）若极限 内有界 定理 3 ： （局部保号性）如果 在x0的某一空心邻域内，有 推 论若 在 xx0 lim f (x)存在，则函数f (x) 在x0的某一空心邻域 lim f (x)  A，并且A  0（或A  0），则 以上性质只对 x  x 0 f (x)  0（或f (x)  0） 。 f (x)  0 （ 或 的情况加以叙述，其它 的形式也有类似的结 果。 x 0 的 某 一 空 心 邻 域 内 有 f (x)  0 ） ， 且 xx0 lim f (x)  A，则A  0（或A  0） 。 2．3．2 极限的运算法则 定理 1：设lim (1) (2) f (x)  A,limg(x)  B ,则 lim[ f (x)  g(x)]=lim f (x) limg(x)  A B lim[f (x)g(x)]  lim f (x)limg(x)  AB  C .(常数),则lim[Cf (x)]  Clim f (x)  CA若g(x) (3) f (x)lim f (x)A lim(B  0) g(x)limg(x)B 证明 因为lim f (x)  A,limg(x)  B，利用 2。2 定理，它们可以分别写为: f (x) =A (x),g(x)  B (x) 其中(x),(x)均为无穷小量，则有： (1) f (x) +g(x)=A+B+[(x)  (x) ] 由 2．2 定理知(x)  (x) 仍为无穷小量,所以 即lim[ 容易证明： f (x) +g(x)以 A+B 为极限.设P(x)为多项式 当x f (x)  g(x)]=lim f (x) limg(x)  A B . xx0  x 0 时， lim P(x)  P(x 0 ) P(x)P(x 0 )  xx0Q(x) Q(x 0 ) lim 2 Q(x 0 )  0 因 为 f (x) 为 多 项 式，所以极限值等于在 例 1 求lim(3x x2  x 5) x 0处的函数值 因为 f (x) 为两个多项 解 lim(3x2 x 5) ＝15 x2式商的极限，且在x=1 处分母的极限不为零， 所以极限值等于函数 值。 在 x=-1 处，分母为零， 不能直接计算极限。 在 x=-1 处，分母为零， 不能直接计算极限。 “ x2 2x 3 例 2求lim x1 x3 x 5 解 lim x1 x  2x 36 ＝ x3 x 55 2 x 1 x1x 1 x 1 解因为lim＝0 根据无穷大于无穷小的关系 x1x 1 x 1 所以有 lim ＝ x1x 1 例 3 求lim 注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。 例 4 求 x21 lim x1 x 1 解 x21(x 1)(x 1) lim ＝lim＝lim(x 1)  2 x1 x 1 x1x1 x 1 0 0 ”型，先设法 约去非零因子。 例 5 x 9 x3x2 7x 12 lim 2 解 x29 lim x3x2 7x 12 (x 3)(x 3) ＝ lim x3(x 3)(x  4) x 3  6 ＝ lim x3x  4 3x3 x 例 6 求lim x x31 “  ”型，用无穷小  量分出法，即分子、分 母同时除以 x 的最高次 幂。 先通分，再计算。 xx0 解 1 3 2 33x  x x  3lim 3 ＝lim xx x 1 1 1 3x a 0 b ,当m  n,b 0  0, 0 a 0 xm a 1x m1  a m   lim0,当m  n, x b xnb xn1 b 01n ,当m  n.    lim( 结论： 例 7 求 解 12  2 ) x1 x 1x 1 12x 1 21 ＝ lim( 2 )＝lim 2 x1 x 1 x1 x 12x 1 小结：1．极限运算法则 2．求极限方法 1）设P(x)为多项式，则lim P(x)  P(x0)。  0，则 2）P(x)、Q(x)均为多项式，且Q(x0) P(x)P(x 0 ) lim xx0Q(x) Q(x 0 ) 3）若 g(x)  f (x)  0,g(x)  A  0，则lim f (x) g(x)0 lim 为“ f (x)0 ”型时，用因式分解找出“零因子”。4）若 5）结论： a 0 b ,当m  n,b 0  0, 0 a 0 xm a 1x m1  a m   lim0,当m  n, x b xnb xn1 b 01n ,当m  n.    6）若(x)  0, f (x)有界，则lim(x) f (x)  0 f (x)  g(x)]为“   ”型时，一般是通分或有理化后再处 一般 7）若lim[ 理。 2．4 两个重要极限 2．4．1 判别极限存在的两个准则 准则 1 （夹逼定理）设函数 f (x),g(x),h(x)在x 0 的某一邻域U(x0, )内满足 g(x)  f (x)  h(x) 且有极限 xx0 lim g(x)  lim h(x)  A，则有lim f (x)  A xx0 xx0 准则 2 如果数列 x n 单调有界，则limxn一定存在。 x 2．4．2 两个重要极限 sin x 1 x0 x tan x 例 8 计算lim x0 x tan xsin x1sin x1 解 lim ＝lim·=lim·lim=1 x0 x0 x0cosx xxcosx x0 x 1cosx 例 9 计算lim 2 x0 x 1．极限 lim sinU 1 U0 U lim 证明略 例 8、例 9 结果可作 为公式使用。 cosx 1 2sin2 解 x 2sin2 1cosx 2 ＝ limlim x0 x0 x2x2 x  sin 1 2  ＝lim x02 x   2   2 x 2  2cos2 x 1 2 可证得此结论。 x  sin  1 2   1 ＝ lim  2x 0 x  2 2  2   例 10 计算lim 2 sin5x x0 3x 解 l