极限运算法则两个重要极限
复习旧课1.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言前面我们介绍了极限的定义,为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限 2.3 极限的运算法则 2.3.1 极限的性质 定理 1(唯一性)如果极限 讲述 我们先介绍极限的运算 法则 证明从略。 xx0 lim f x 存在,则它只有一个极限。即若 lim f x A,lim f x B ,则A B 定理 2 (有界性)若极限 内有界 定理 3 (局部保号性)如果 在x0的某一空心邻域内,有 推 论若 在 xx0 lim f x存在,则函数f x 在x0的某一空心邻域 lim f x A,并且A 0(或A 0),则 以上性质只对 x x 0 f x 0(或f x 0) 。 f x 0 ( 或 的情况加以叙述,其它 的形式也有类似的结 果。 x 0 的 某 一 空 心 邻 域 内 有 f x 0 ) , 且 xx0 lim f x A,则A 0(或A 0) 。 2.3.2 极限的运算法则 定理 1设lim 1 2 f x A,limgx B ,则 lim[ f x gx]lim f x limgx A B lim[f xgx] lim f xlimgx AB C .常数,则lim[Cf x] Clim f x CA若gx 3 f xlim f xA limB 0 gxlimgxB 证明 因为lim f x A,limgx B,利用 2。2 定理,它们可以分别写为 f x A x,gx B x 其中x,x均为无穷小量,则有 1 f x gxAB[x x ] 由 2.2 定理知x x 仍为无穷小量,所以 即lim[ 容易证明 f x gx以 AB 为极限.设Px为多项式 当x f x gx]lim f x limgx A B . xx0 x 0 时, lim Px Px 0 PxPx 0 xx0Qx Qx 0 lim 2 Qx 0 0 因 为 f x 为 多 项 式,所以极限值等于在 例 1 求lim3x x2 x 5 x 0处的函数值 因为 f x 为两个多项 解 lim3x2 x 5 =15 x2式商的极限,且在x1 处分母的极限不为零, 所以极限值等于函数 值。 在 x-1 处,分母为零, 不能直接计算极限。 在 x-1 处,分母为零, 不能直接计算极限。 “ x2 2x 3 例 2求lim x1 x3 x 5 解 lim x1 x 2x 36 = x3 x 55 2 x 1 x1x 1 x 1 解因为lim=0 根据无穷大于无穷小的关系 x1x 1 x 1 所以有 lim = x1x 1 例 3 求lim 注意求极限时,必须注意每一步的根据,否则会出现错误。 例 4 求 x21 lim x1 x 1 解 x21x 1x 1 lim =lim=limx 1 2 x1 x 1 x1x1 x 1 0 0 ”型,先设法 约去非零因子。 例 5 x 9 x3x2 7x 12 lim 2 解 x29 lim x3x2 7x 12 x 3x 3 = lim x3x 3x 4 x 3 6 = lim x3x 4 3x3 x 例 6 求lim x x31 “ ”型,用无穷小 量分出法,即分子、分 母同时除以 x 的最高次 幂。 先通分,再计算。 xx0 解 1 3 2 33x x x 3lim 3 =lim xx x 1 1 1 3x a 0 b ,当m n,b 0 0, 0 a 0 xm a 1x m1 a m lim0,当m n, x b xnb xn1 b 01n ,当m n. lim 结论 例 7 求 解 12 2 x1 x 1x 1 12x 1 21 = lim 2 =lim 2 x1 x 1 x1 x 12x 1 小结1.极限运算法则 2.求极限方法 1)设Px为多项式,则lim Px Px0。 0,则 2)Px、Qx均为多项式,且Qx0 PxPx 0 lim xx0Qx Qx 0 3)若 gx f x 0,gx A 0,则lim f x gx0 lim 为“ f x0 ”型时,用因式分解找出“零因子”。4)若 5)结论 a 0 b ,当m n,b 0 0, 0 a 0 xm a 1x m1 a m lim0,当m n, x b xnb xn1 b 01n ,当m n. 6)若x 0, f x有界,则limx f x 0 f x gx]为“ ”型时,一般是通分或有理化后再处 一般 7)若lim[ 理。 2.4 两个重要极限 2.4.1 判别极限存在的两个准则 准则 1 (夹逼定理)设函数 f x,gx,hx在x 0 的某一邻域Ux0, 内满足 gx f x hx 且有极限 xx0 lim gx lim hx A,则有lim f x A xx0 xx0 准则 2 如果数列 x n 单调有界,则limxn一定存在。 x 2.4.2 两个重要极限 sin x 1 x0 x tan x 例 8 计算lim x0 x tan xsin x1sin x1 解 lim =limlimlim1 x0 x0 x0cosx xxcosx x0 x 1cosx 例 9 计算lim 2 x0 x 1.极限 lim sinU 1 U0 U lim 证明略 例 8、例 9 结果可作 为公式使用。 cosx 1 2sin2 解 x 2sin2 1cosx 2 = limlim x0 x0 x2x2 x sin 1 2 =lim x02 x 2 2 x 2 2cos2 x 1 2 可证得此结论。 x sin 1 2 1 = lim 2x 0 x 2 2 2 例 10 计算lim 2 sin5x x0 3x 解 l