★初中数学竞赛试题
数学竞赛专项训练（9）－1 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数 可以被（ ）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc，则abcabc＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10 ＋c＝a×102（103＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c） （103 ＋1）＝1001（a×103＋b×10＋c） ，而 a×103＋b×10＋c 是整数，所以能被 1001 整 除。故选 C 方法二：代入法 2、若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S ，则 S 的整数部分是____________________ 解：因 1981、1982……2001 均大于 1980，所以 90 22 1980 1980 1 22 1 S ，又 1980、 1981……2000 均小于 2001，所以 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S ，从而知 S 的整数 部分为 90。 3、设有编号为 1、2、3……100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都 是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一 下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n≤100）学生 进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那 些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店 数学竞赛专项训练（9）－2 把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价 的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1＋a%）b%元。 应选 C 5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 ||||||||abc abc c c b b a a 的所有可能的 值为 （ ） A. 0 B. 1 或-1 C. 2 或-2 D. 0 或-2 解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 ①当 a，b，c 为两正一负时： 0 |||||||| 1 || 1 |||||| abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， ； ②当 a，b，c 为两负一正时： 0 |||||||| 1 || 1 |||||| abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由①②知 ||||||||abc abc c c b b a a 所有可能的值为 0。 应选 A 6、在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若∠B＝60°，则 bc a ba c 的 值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 解： 过A点作AD⊥CD于D， 在Rt△BDA中， 则于∠B＝60°， 所以DB＝ 2 C ， AD＝ C 2 3 。 在 Rt△ADC 中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－ 2 C ）2＝b2－ 4 3 C2，整理得 a2＋c2=b2 c A B C a b 数学竞赛专项训练（9）－3 ＋ac，从而有 1 ))(( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 7、设 a＜b＜0，a2+b2=4ab，则 ba ba 的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 aca+b+c2c 即 p2cc 2 p ， 另一方面 c≥a 且 c≥b2c≥a+b ∴3c 3 p cpcba 。 因此 23 p c p 3、证明：①∵∠ACB＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴DE⊥AC，DE⊥BC， 从而∠ECF＝∠DEC＝∠DFC＝90°。 ∵CD 是角平分线 ∴DE＝DF，即知四边形 CEDF 是正方形。 ②在 Rt△AED 和 Rt△DFB 中， ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴ BF DE DF AE ，即 DE·DF＝AE·BF ∵CD＝ 2DE＝2DF， ∴ BFAEDFDEDFDECD2222 2 4、解：这一问题等价于在 1，2，3，……，2004 中选 k－1 个数，使其中任意三个数都 不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是 多少？符合上述条件的数组，当 k＝4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断 扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使 k A B D C E 数学竞赛专项训练（9）－25 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ① 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2……an显然总有 ai大于等于①中的第 i 个数，所以 n≤16≤k－1，从而知 k 的最小值为 17。 初中数学竞赛专项训练（9） （面积及等积变换） 一、选择题： 1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上， 且 BP＝CD，则图形中面积相等的三角形有 （ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE，设 AF、CE 交于点 G，则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于 （ ） A. 6 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 2 3、设△ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 AB AD ＝ 3 1 ，若在边 AC 上取一点 E，使 四边形 DECB 的面积为 4 3 ，则 EA CE 的值为 （ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4、如图 9-3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以 AC、AB 为边， 在△ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CK⊥AB，分别 交 AB 和 GH 于 D 和
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