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★初中数学竞赛试题

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★初中数学竞赛试题

数学竞赛专项训练(9)-1 1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数 可以被( )整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解依题意设六位数为abcabc,则abcabc=a105+b104+c103+a102+b10 +c=a102(103+1)+b10(103+1)+c(103+1)=(a103+b10+c) (103 +1)=1001(a103+b10+c) ,而 a103+b10+c 是整数,所以能被 1001 整 除。故选 C 方法二代入法 2、若 2001 1 1981 1 1980 1 1  S ,则 S 的整数部分是____________________ 解因 1981、19822001 均大于 1980,所以 90 22 1980 1980 1 22 1   S ,又 1980、 19812000 均小于 2001,所以 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1   S ,从而知 S 的整数 部分为 90。 3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都 是关闭状态,现有 100 个学生,第 1 个学生进来时,凡号码是 1 的倍数的开关拉了一 下,接着第二个学生进来,由号码是 2 的倍数的开关拉一下,第 n 个(n≤100)学生 进来,凡号码是 n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。 解首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的, 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那 些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣,进价为每件 m 元,零售价比进价高 a,后因市场的变化,该店 数学竞赛专项训练(9)-2 把零售价调整为原来零售价的 b出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A. m1a1-b元 B. ma1-b元 C. m1ab元 D. m1ab元 解根据题意,这批衬衣的零售价为每件 m(1+a)元,因调整后的零售价为原零售价 的 b,所以调价后每件衬衣的零售价为 m(1+a)b元。 应选 C 5、如果 a、b、c 是非零实数,且 abc0,那么 ||||||||abc abc c c b b a a  的所有可能的 值为 ( ) A. 0 B. 1 或-1 C. 2 或-2 D. 0 或-2 解由已知,a,b,c 为两正一负或两负一正。 ①当 a,b,c 为两正一负时 0 |||||||| 1 || 1 ||||||  abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以, ; ②当 a,b,c 为两负一正时 0 |||||||| 1 || 1 ||||||  abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以, 由①②知 ||||||||abc abc c c b b a a  所有可能的值为 0。 应选 A 6、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若∠B=60,则 bc a ba c    的 值为 ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 解 过A点作AD⊥CD于D, 在Rt△BDA中, 则于∠B=60, 所以DB= 2 C , AD= C 2 3 。 在 Rt△ADC 中,DC2=AC2-AD2,所以有(a- 2 C )2=b2- 4 3 C2,整理得 a2+c2b2 c A B C a b 数学竞赛专项训练(9)-3 +ac,从而有 1 2 2222          bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 7、设 a<b<0,a2b24ab,则 ba ba   的值为 ( ) A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 解因为ab26ab,a-b22ab,由于 acabc2c 即 p2cc 2 p , 另一方面 c≥a 且 c≥b2c≥ab ∴3c 3 p cpcba 。 因此 23 p c p  3、证明①∵∠ACB=90,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC, 从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90。 ∵CD 是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形 CEDF 是正方形。 ②在 Rt△AED 和 Rt△DFB 中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴ BF DE DF AE  ,即 DEDF=AEBF ∵CD= 2DE=2DF, ∴ BFAEDFDEDFDECD2222 2 4、解这一问题等价于在 1,2,3,,2004 中选 k-1 个数,使其中任意三个数都 不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的 k 的最大值是 多少符合上述条件的数组,当 k=4 时,最小的三个数就是 1,2,3,由此可不断 扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使 k A B D C E 数学竞赛专项训练(9)-25 达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ① 共 16 个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2an显然总有 ai大于等于①中的第 i 个数,所以 n≤16≤k-1,从而知 k 的最小值为 17。 初中数学竞赛专项训练(9) (面积及等积变换) 一、选择题 1、如图 9-1,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC 与 BD 交于 O,点 P 在 AB 的延长线上, 且 BP=CD,则图形中面积相等的三角形有 ( ) A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 2、如图 9-2,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,连 AF、CE,设 AF、CE 交于点 G,则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于 ( ) A. 6 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 2 3、设△ABC 的面积为 1,D 是边 AB 上一点,且 AB AD = 3 1 ,若在边 AC 上取一点 E,使 四边形 DECB 的面积为 4 3 ,则 EA CE 的值为 ( ) A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4、如图 9-3,在△ABC 中,∠ACB=90,分别以 AC、AB 为边, 在△ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB,作 CK⊥AB,分别 交 AB 和 GH 于 D 和

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