《函数单调性》的教学案例

《函数单调性》教学案例 1.【案例背景】 “函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。“课标” 规定两个课时，所选案例为第一课时。 函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函 数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这 之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比 例函数等， 函数单调性是学生研究函数整体性质的开始， 之后还有奇偶性周期性等， 所以本节内容承前启后，不仅要用到以前学过的函数知识，还要由这些知识出发获 得函数自身的更深人的认识，并由这些认识解决有关的函数问题，这一节学好了， 学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。 2.【教学内容分析】 首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段， 第 一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有 一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数 和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的 单调性.高一单调性的学习， 既是初中学习的延续和深化， 又为高三的学习奠定基础． 其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函 数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、 周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认 识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数 解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程. 因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据 . 最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知 识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数 形结合思想的重要素材. 3.【学情分析】 高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想 使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单 调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数 学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证 明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达． 因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联 系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新 问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函 数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知 结构升华、发现的过程． 最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩 固，让学生动手去实践运用定义． 4. 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月 中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体 育赛事. 下图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题 1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考） 【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认 识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引 发学生进一步学习的好奇心。 生 1（主动回答）：0～4 时，温度下降，4～14 时温度上升，14～24 时温度 下降。 问题 2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二．借助图象，直观感知 问题 3：观画出 y=x 和 2yx的函数图象，回答下面两个问题： ⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？ 【设计意图】 顺应学生的认知规律。 （小组合作探求） 生 1：一次函数 y=x 其定义域上是 上升的，二次函数 2yx是先下降后上 升。 师：这样回答准确吗？ 生 2： 一次函数 y=x 在区间 （-∞， +∞） 上是“上升”的；二次函数 y=x2 在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上 升”的。 ⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗？ 【设计意图】有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间） 这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过“几何画板“展示 y=x 图象 上 A 点的运动情况，让学生观察 x，y 值的变化。 师（及时提问）：同学们能用数学语言把 y=x 图象“上升“的特征描述出来吗？ 生 3：该函数随着 x 的值增大，y 的值相应的增大。 师（面向全体学生）：大家同意生 4 的回答吗？ 生 4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-∞，+∞）上随着 x 的值增大， y 的值相应的增大。 师：生 5 补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函 数 2yx呢？ 生 5：函数 2yx在区间（-∞，0）上随着 x 的值增大，y 的值相应的减小；在 区间（0，+∞）上是随着 x 的值增大，y 的值相应的增大。 师：在数学上，我们把 y 随着 x 的增大而增大，称为增函数；把 y 随着 x 的增 大而减小，称为减函数。 三．探究规律，理性认识 问题 4：如何从解析式的角度说明 2)(xxf在), 0[ 为增函数？ 生 6：因为 10满足则函数在 ，上为增函数． 3）因为函数 x xf 1 )(在区间), 0()0 ,(和上都是减函数，所以 x xf 1 )(在 ), 0()0 ,(上是减函数. 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过 对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 六、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生 合作共同完成小结． 1．小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2. 课后探究： 研究函数)0( 1 x x xy的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 5.【课堂教学实录】 教学 环节 教学活动 问题呈现 一、创设情 境，引入课 题 课前布置任务： (1) 由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时 间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说 明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运