《函数单调性》的教学案例

函数单调性教学案例 1.【案例背景】 “函数的单调性”是新课标人教版数学1第一章第三节的教学内容。“课标” 规定两个课时，所选案例为第一课时。 函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函 数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这 之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比 例函数等， 函数单调性是学生研究函数整体性质的开始， 之后还有奇偶性周期性等， 所以本节内容承前启后，不仅要用到以前学过的函数知识，还要由这些知识出发获 得函数自身的更深人的认识，并由这些认识解决有关的函数问题，这一节学好了， 学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。 2.【教学内容分析】 首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段， 第 一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有 一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数 和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的 单调性.高一单调性的学习， 既是初中学习的延续和深化， 又为高三的学习奠定基础． 其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函 数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、 周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认 识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数 解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程. 因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据 . 最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知 识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数 形结合思想的重要素材. 3.【学情分析】 高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想 使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单 调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数 学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证 明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达． 因此首先要重视学生的亲身体验将新知识与学生的已有知识建立了联 系．如学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新 问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函 数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知 结构升华、发现的过程． 最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩 固，让学生动手去实践运用定义． 4. 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务 1 由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. 2 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月 中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体 育赛事. 下图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题 1请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化（学生独立思考） 【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认 识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引 发学生进一步学习的好奇心。 生 1（主动回答）0～4 时，温度下降，4～14 时温度上升，14～24 时温度 下降。 问题 2还能举出生活中其他的数据变化情况吗 预案水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二．借助图象，直观感知 问题 3观画出 yx 和 2yx的函数图象，回答下面两个问题 ⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的 【设计意图】 顺应学生的认知规律。 （小组合作探求） 生 1一次函数 yx 其定义域上是 上升的，二次函数 2yx是先下降后上 升。 师这样回答准确吗 生 2 一次函数 yx 在区间 （-∞， ∞） 上是“上升”的；二次函数 yx2 在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上 升”的。 ⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗 【设计意图】有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间） 这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过“几何画板“展示 yx 图象 上 A 点的运动情况，让学生观察 x，y 值的变化。 师（及时提问）同学们能用数学语言把 yx 图象“上升“的特征描述出来吗 生 3该函数随着 x 的值增大，y 的值相应的增大。 师（面向全体学生）大家同意生 4 的回答吗 生 4老师，我有补充，应该说该函数在区间（-∞，∞）上随着 x 的值增大， y 的值相应的增大。 师生 5 补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函 数 2yx呢 生 5函数 2yx在区间（-∞，0）上随着 x 的值增大，y 的值相应的减小；在 区间（0，∞）上是随着 x 的值增大，y 的值相应的增大。 师在数学上，我们把 y 随着 x 的增大而增大，称为增函数；把 y 随着 x 的增 大而减小，称为减函数。 三．探究规律，理性认识 问题 4如何从解析式的角度说明 2xxf在, 0[ 为增函数 生 6因为 10满足则函数在 ，上为增函数． 3）因为函数 x xf 1 在区间, 00 ,和上都是减函数，所以 x xf 1 在 , 00 ,上是减函数. 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过 对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 六、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生 合作共同完成小结． 1．小结 1 概念探究过程直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． 2 证明方法和步骤设元、作差、变形、断号、定论． 3 数学思想方法和思维方法数形结合，等价转化，类比等． 2. 课后探究 研究函数0 1 x x xy的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 5.【课堂教学实录】 教学 环节 教学活动 问题呈现 一、创设情 境，引入课 题 课前布置任务 1 由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时 间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说 明做出这个决定的主要原因. 2 通过查阅历史资料研究北京奥运