《勾股定理》培优训练1

《勾股定理》培优训练一 1.如图，△ABC 中，AB=BC，BE⊥AC 于点 E，AD⊥BC 于点 D，∠BAD=45°，AD 与 BE 交于点 F，连接 CF.（1）求证：BF=2AE； （2）若 CD= 2，求 AD 的长. 2.如图， △ABC 是边长为 3 的等边三角形， 将△ABC 沿直线 BC 向右平移， 使 B 点与 C 点重合， 得到△DCE， 连接 BD，交 AC 于 F.（1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论； （2）求线段 BD 的长. 3.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为△ABC 的准外心. 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= 1 2 AB，求∠APB 的度数. 探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长. （1）连接 PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种情况利用等边三角形的性质求 出 PD 与 AB 的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即 可求出∠APB 的度数；（2） 先根据勾股定理求出 AC 的长度， 根据准外心的定义， 分①PB=PC， ②PA=PC， ③PA=PB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解． 4. 已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB 交 AB 于点 E，且 CD=AC，DF∥BC，分别与 AB、AC 交于点 G.（1）求证：GE=GF； （2）若 BD=1，求 DF 的长. 5.如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求 AC 的长． 6.已知等边△OAB 的边长为 a，以 AB 边上的高 OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与 OB 相交 于点 A2． （1）求线段 OA2的长； （2）若再以 OA2为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与 OB1相交于 点 A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OAnBn（如图） ．求△OA6B6的周长． 7. △ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图 1，根据勾股定理，则 a2+b2=c2．若△ABC 不是直角 三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2与 c2的关系，并证明你的结论． 8.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． （ 1）2+1=2，S1= 1 2 ； （ 2）2+1=3，S2= 2 2 ； （ 3）2+1=4，S3= 3 2 （1）请用含 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出 OA10的长； （3）求出 S12+S22+S22+…+S102的值． 9. Rt△OAB 的斜边 AO 在 x 轴的正半轴上，直角顶点 B 在第四象限内，S△OAB=20，OB：AB=1：2，求 A、 B 两点的坐标． 10.已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为 45°，半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转，且直线 CE，CF 分别与直线 AB 交于点 M，N． （1）当扇形 CEF 绕点 C 在∠ACB 的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；请你完成证明过程： （2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图②的位置时，关系式 MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由． 11.如图， △ABC 是边长为 4 的等边三角形， 将△ABC 沿直线 BC 向右平移， 使 B 点与 C 点重合， 得到△DCE， 连结 BD，交 AC 于 F． （1）猜想 BD 与 DE 的位置关系，并证明你的结论； （2）求△BDE 的面积 S． 12.已知∠ABC=90°，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合） ，分别以 AB、AP 为边在∠ABC 的 内部作等边△ABE 和△APQ，连接 QE 并延长交 BP 于点 F． （1）如图 1，若 AB=2 3，点 A、E、P 恰好 在一条直线上时，求此时 EF 的长（直接写出结果） ； （2）如图 2，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想 EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段） ，并加以证明； （3）若 AB=2 3，设 BP=4， 求 QF 的长． 13.四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠B 和∠D 都是直角． （1）求证：BC=CD． （2）若将原题中的已知条件“∠B 和∠D 都是直角”放宽为“∠B 和∠D 互为补角”，其余条件不变，猜想： BC 边和邻边 CD 的长度是否一定相等？请证明你的结论． （3）探究：在（2）的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边 AB、AD 和对角线 AC 之间有什么 确定的数量关系？需说明理由． 14.在△ABC 中，∠A=2∠B，且∠A=60°．求证：a2=b（b+c） 15.如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点 E 在 BC 边上，将△CDE 沿 DE 折叠， 点 C 恰好落在 AB 边上的点 C 处． （1）求∠C DE 的度数； （2）求△C DE 的面积． 16.在四边形 ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2，BC=11，求： （1）CD 的长． （2）四边 形 ABCD 的面积． 17.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M、N 在边 BC 上． （1）如图 1，如果 AM=AN，求证：BM=CN； （2）如图 2，如果 M、N 是边 BC 上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段 BM、MN、NC 是否有可能 使等式 MN2=BM2+NC2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 18.已知在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D 点在边 BC 上，BF⊥AC 分别交射线 DA、射线 CA 于点 E、F， 若 BD=4，∠BAD=45°． （1）如图：若∠BAC 是锐角，则点 F 在边 AC 上，①求证：△BDE≌△ADC；② 若 DC=3，求 AE 的长； （2）若∠BAC 是钝角，AE=1，求 AC 的长． 19.如图，△ABC 是一个边长为 1 的等边三角形，BB1是△ABC 的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2 的高，B3B4是△AB2B3的高，…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高 （1）求 BB1的长； （2）填空：B1B2的长为 ，B2B3的长为 ； （3）根据（1） 、 （2）的计算结果，猜想写出 Bn-1Bn的值（用含 n 的代数式表示，n 为正整数） ． 20.如图，△ABD、△CBD 都是等边三角形，DE、BF 分别是△ABD 的两条高，DE、BF 交于点 G．