八年级因式分解的基本方法
八年级因式分解的基本方法 中考要求 内容基本要求略高要求较高要求 因式分解 能运用因式分解的 了解因式分解的意义及其与整式 会用提公因式法、公式法（直接 方法进行代数式的 用公式不超过两次）进行因式分 变形，解决有关问乘法之间的关系 解（指数是正整数） 题 例题精讲 一、基本概念 因式分解：因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项 式分解因式. 因式分解与整式乘法互为逆变形：因式分解与整式乘法互为逆变形： m(a bc) 整式的乘积 因式分解 ma mb mc 式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法：因式分解的常用方法： 提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法. 分解因式的一般步骤：分解因式的一般步骤： 如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法. 注意事项：注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； ②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式； ④相同的因式的积要写成幂的形式. 在分解因式时，结果的形式要求：在分解因式时，结果的形式要求： ①没有大括号和中括号； ②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式. 二、提公因式法 提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：确定公因式的方法： 系数系数————取多项式各项系数的最大公约数； 字母字母( (或多项式因式或多项式因式) )————取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 三、公式法 平方差公式：平方差公式：a2b2 (a b)(a b) ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 1 of 7 完全平方公式：完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2 倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：一些需要了解的公式： a3b3 (a b)(a2ab b2)a3b3 (a b)(a2 ab b2) (a b)3 a33a2b 3ab2b3(a b)3 a33a2b 3ab2b3 (a b c)2 a2b2 c2 2ab 2ac 2bc 四、十字相乘法 十字相乘法：十字相乘法：一个二次三项式ax2bx c，若可以分解，则一定可以写成(a 1x c1)(a2 x c 2 )的形式，它 ac 1 的系数可以写成 1 ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数， 其实就是分解 a 2 c 2 系数 a，b，c，使得：a 1a2 a，c 1c2 c，a 1c2 a 2c1 b，x2 (a b)x ab (x a)(x b) 2若若b 4ac不是一个平方数，那么二次三项式不是一个平方数，那么二次三项式ax2bx c就不能在有理数范围内分解就不能在有理数范围内分解 五、分组分解 分组分解法：分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分 组分解法. 综合讲解 【例1】设 S=（x﹣1）4+4（x﹣1）3+6（x﹣1）2+4（x﹣1）+1，则 S 等于（） A、 （x﹣2）4B、 （x﹣1）4 C、x4D、 （x+1）4 【例2】因式分解： ⑴(a b)2c2⑵4y2(2z x)2 ⑷9(mn)24(m n)2 ⑹(3x 2y)216y2 ⑶y481 1 ⑸2x2y2 2 ⑺(a x)4(a x)4 【例3】分解因式： （x﹣2）3﹣（y﹣2）3﹣（x﹣y）3=． 【例4】（2010•新疆） 利用 1 个 a×a 的正方形， 1 个 b×b 的正方形和 2 个 a×b 的矩形可拼成一个正方形 （如图所示） ，从而可得到因式分解的公式． 【例5】分解因式： MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 2 of 7 ⑴15aa b2n110abb a2n(n为正整数) ⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于 1 的自然数) 【例6】将 xm+3﹣xm+1分解因式，结果是（） A、xm（x3﹣x）B、xm（x3﹣1） C、xm+1（x2﹣1）D、xm+1（x﹣1） （x+1） 【例7】将 4x3y﹣8x2y2+4xy3分解因式，结果为（） A、xy（2x﹣2y）2B、2xy（x﹣y）2 C、4xy（x2﹣2xy+y2）D、4xy（x﹣y）2 【例8】已知20102011﹣ 20102009 2010X 20092011，那么 x 的值是（） A、2008B、2009 C、2010D、2011 【例9】已知 248﹣1 可以被 60 到 70 之间的某两个整数整除，则这两个数分别是、． 【巩固】已知15x247xy 28y2 0，求 x y 的值 【例10】分解因式：a(6a 11b 4)b(3b1)2 【巩固】分解因式：a2bab2 a2c ac23abc b2c bc2 【巩固】分解因式：y(y 1)(x21) x(2y2 2y 1) MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 3 of 7 【【补充】】分解因式：ab(x2 y2)(a2b2)(xy 1)(a2b2)(x y) 【巩固】(第十五届“五羊杯”第 15 题)(ay bx)3(ax by)3(a3b3)(x3 y3)=_________.=_________. 【巩固】分解因式：(a b)3(b c)3(c a)3 a3b3c3 【巩固】化简下列多项式：1 x x1 x x1 x2 x1 x3 x1 x2006 【巩固】分解因式：(x y)2n1(x z)(x y)2n 2(y x)2n(y z)，n为正整数. 【例11】求代数式的值：(3x 2)2(2x 1)(3x 2)(2x 1)2 x(2x 1)(23x)，其中x 2 3 . MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 4 of 7 【例12】利用分解因式证明：257
蚂蚁文库