八年级因式分解的基本方法

八年级因式分解的基本方法 中考要求 内容基本要求略高要求较高要求 因式分解 能运用因式分解的 了解因式分解的意义及其与整式 会用提公因式法、公式法（直接 方法进行代数式的 用公式不超过两次）进行因式分 变形，解决有关问乘法之间的关系 解（指数是正整数） 题 例题精讲 一、基本概念 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项 式分解因式. 因式分解与整式乘法互为逆变形因式分解与整式乘法互为逆变形 ma bc 整式的乘积 因式分解 ma mb mc 式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法因式分解的常用方法 提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法. 分解因式的一般步骤分解因式的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法. 注意事项注意事项①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； ②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式； ④相同的因式的积要写成幂的形式. 在分解因式时，结果的形式要求在分解因式时，结果的形式要求 ①没有大括号和中括号； ②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式. 二、提公因式法 提取公因式提取公因式如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法确定公因式的方法 系数系数取多项式各项系数的最大公约数； 字母字母 或多项式因式或多项式因式 取各项都含有的字母或多项式因式的最低次幂. 三、公式法 平方差公式平方差公式a2b2 a ba b ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 1 of 7 完全平方公式完全平方公式a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a b2 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2 倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和或差的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式一些需要了解的公式 a3b3 a ba2ab b2a3b3 a ba2 ab b2 a b3 a33a2b 3ab2b3a b3 a33a2b 3ab2b3 a b  c2 a2b2 c2 2ab  2ac  2bc 四、十字相乘法 十字相乘法十字相乘法一个二次三项式ax2bx c，若可以分解，则一定可以写成a 1x c1a2 x c 2 的形式，它 ac 1 的系数可以写成 1 ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数， 其实就是分解 a 2 c 2 系数 a，b，c，使得a 1a2  a，c 1c2  c，a 1c2  a 2c1  b，x2 a bx  ab  x  ax b 2若若b 4ac不是一个平方数，那么二次三项式不是一个平方数，那么二次三项式ax2bx c就不能在有理数范围内分解就不能在有理数范围内分解 五、分组分解 分组分解法分组分解法将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分 组分解法. 综合讲解 【例1】设 S（x﹣1）44（x﹣1）36（x﹣1）24（x﹣1）1，则 S 等于（） A、 （x﹣2）4B、 （x﹣1）4 C、x4D、 （x1）4 【例2】因式分解 ⑴a b2c2⑵4y22z  x2 ⑷9mn24m n2 ⑹3x 2y216y2 ⑶y481 1 ⑸2x2y2 2 ⑺a  x4a  x4 【例3】分解因式 （x﹣2）3﹣（y﹣2）3﹣（x﹣y）3． 【例4】（2010新疆） 利用 1 个 aa 的正方形， 1 个 bb 的正方形和 2 个 ab 的矩形可拼成一个正方形 （如图所示） ，从而可得到因式分解的公式． 【例5】分解因式 MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 2 of 7 ⑴15aa b2n110abb  a2nn为正整数 ⑵4a2n1bm6an2bm1m、n为大于 1 的自然数 【例6】将 xm3﹣xm1分解因式，结果是（） A、xm（x3﹣x）B、xm（x3﹣1） C、xm1（x2﹣1）D、xm1（x﹣1） （x1） 【例7】将 4x3y﹣8x2y24xy3分解因式，结果为（） A、xy（2x﹣2y）2B、2xy（x﹣y）2 C、4xy（x2﹣2xyy2）D、4xy（x﹣y）2 【例8】已知20102011﹣ 20102009 2010X 20092011，那么 x 的值是（） A、2008B、2009 C、2010D、2011 【例9】已知 248﹣1 可以被 60 到 70 之间的某两个整数整除，则这两个数分别是、． 【巩固】已知15x247xy  28y2 0，求 x y 的值 【例10】分解因式a6a 11b 4b3b12 【巩固】分解因式a2bab2 a2c ac23abc b2c bc2 【巩固】分解因式yy 1x21 x2y2 2y 1 MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 3 of 7 【【补充】】分解因式abx2 y2a2b2xy 1a2b2x  y 【巩固】第十五届“五羊杯”第 15 题ay bx3ax by3a3b3x3 y3_________._________. 【巩固】分解因式a b3b c3c  a3 a3b3c3 【巩固】化简下列多项式1 x  x1 x x1 x2 x1 x3 x1 x2006 【巩固】分解因式x  y2n1x  zx  y2n 2y  x2ny  z，n为正整数. 【例11】求代数式的值3x 222x 13x 22x 12 x2x 123x，其中x   2 3 . MSDC.初中数学.因式分解 B 级.第 01 讲.学生版Page 4 of 7 【例12】利用分解因式证明257 