[经典例题]二次函数根的分布

第 1 页 共 6 页 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 0 2cbxax 根的分布情况 表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况） 分 布 情 况 两个负根即两根都小于 0  12 0,0 xx 两个正根即两根都大于 0  12 0,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0  12 0 xx 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论   0 0 2 00 b a f            0 0 2 00 b a f            00 f 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论   0 0 2 00 b a f            0 0 2 00 b a f            00 f 综 合 结 论 （ 不 讨 论 a ）   0 0 2 00 b a a f            0 0 2 00 b a a f            00  fa 第 2 页 共 6 页 表二：（两根与k的大小比较） 分 布 情 况 两根都小于k即 kxkx 21 , 两根都大于k即 kxkx 21 , 一个根小于k，一个大于k即 21 xkx 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论   0 2 0 b k a f k            0 2 0 b k a f k            0kf 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论   0 2 0 b k a f k            0 2 0 b k a f k            0kf 综 合 结 论 （ 不 讨 论 a ）   0 2 0 b k a a f k            0 2 0 b k a a f k            0kfa k k k 第 3 页 共 6 页 表三：（根在区间上的分布） 二、经典例题 分 布 情 况 两根都在  nm, 内 两根有且仅有一根在  nm, 内 （图象有两种情况，只画了一 种） 一根在  nm, 内， 另一根在  qp, 内，qpnm 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论     0 0 0 2 f m f n b mn a                 0nfmf         0 0 0 0 f m f n fp f q           或         0 0 f m f n fp f q       大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论     0 0 0 2 f m f n b mn a                 0nfmf         0 0 0 0 f m f n fp f q           或         0 0 f m f n fp f q       综 合 结 论 （ 不 讨 论 a ） ——————    0nfmf               0 0 qfpf nfmf 第 4 页 共 6 页 例 1：（实根与分布条件）已知 , 是方程 024) 12( 2mxmx 的两个根，且  2 ，求实数m的取值范围。 变式：关于x的方程 012)1 ( 22mxxm 的两个根，一个小于 0，一个大于 1，求m的 取值范围。 例 2：（动轴定区间）函数 32)( 2axxxf 在区间  2 , 1 上是单调函数，则a的取值范围 是？ 变式 2：函数 32)( 2kxxxf 在   , 1 上是增函数，求实数k的取值范围。 列 3：（定轴动区间）求函数 12)( 2axxxf 在  2 , 0 上的值域。 变式 3：已知函数 2244)( 22aaaxxxf 在区间  2 , 0 上有最小值 3，求实数a的取 值范围。 例 4：（定轴动区间）已知二次函数 32)( 2xxxf ，若 )(xf 在  1, tt 上的最小值为 )(tg ，求)(tg的表达式。 第 5 页 共 6 页 变式 4：已知二次函数)(xf满足)1 ()1 (xfxf，且1) 1 (, 0)0(ff，若)(xf在区 间  nm, 上的值域是  nm, ，求nm,的值。 例 5： （恒成立问题） 已知函数 1)( 2mxxxf ， 若对于任意  1,mmx ， 都有0)(xf 成立，求实数m的取值范围。 变式 5：已知函数 1)( 2mxxxf 在 )2 , 2 1 ( 上恒大于 0，求实数m的取值范围。 三、课后练习 1、已知二次方程  221210mxmxm 有一正根和一负根，求实数m的取值范 围。 第 6 页 共 6 页 2、函数   2220f xaxaxb a 在  2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求, a b的值。 3、讨论函数   21f xxxa 的最小值。 4、已知函数 1)( 2xmxxf 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围。 5、已知函数 3)( 2axxxf ，当  1 , 1x 时，axf)(恒成立，求a的取值范围。