二项式系数性质练习题答案

例例 1 1．在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 n 证 明 ： 在 展 开 式 0n1n(a b)n C n a C na b  rnrrC n ab  nnC n b (n N) 中 ， 令 0123C n C n C n a 1,b  1，则(11)n C n n(1)nC n ， 即0  (Cn ∴Cn 0 02C n  13)(C n C n )， 2C n  13 C n C n  ， 即在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例 1 知Cn 例例 2 2．．已知(1 2x) （1）a1 a 2 7 n 02C n  13 C n C n  2n1.  a 0  a 1x  a2 x2 a 7 x7 ，求： a 7 ；（2）a1 a 3 a 5 a 7 ；（3）|a0 ||a 1 | 7 |a 7 | . 解： （1）当x 1时，(12x)  (12)7  1，展开式右边为 a 0 a 1 a 2  ∴a0 当x a 7 a 7  1， a 7  11 2， a 1 a 2  0时，a 0 1，∴a 1 a 2  a 1 a 2  （2）令x 1， a 0 令x 1，a0 a 7  1 ① a 1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  a 7  37 ② 7 137 ①② 得：2(a1 a3  a 5  a 7 )  13 ，∴ a 1 a 3 a 5 a 7  2 （3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0 .  a 2  a 4  a 6 )  137 ， ， 137 ∴ a 0 a 2 a 4 a 6  2 ∴|a0 ||a 1 ||a 7 |a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7  (a 0  a 2  a 4  a 6 )(a 1  a 3  a 5  a 7 )  37 例例 3.3.求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数 2103 (1 x)[1(1 x)10] （1 x）  解：(1 x)  (1 x)  1(1 x) 210 (x 1)11 (x 1) =， x ∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347 第二课时第二课时 例例 4.4.在(x +3x+2) 的展开式中，求 x 的系数 25 解：∵(x 23x  2)5 (x 1)5(x  2)5 1 ∴在(x+1) 展开式中，常数项为 1，含 x 的项为C5 5 55  5x ， 14 在(2+x) 展开式中，常数项为 2 =32，含 x 的项为C52 ∴展开式中含 x 的项为 1(80 x) 5x(32) ∴此展开式中 x 的系数为 240 x  80 x  240 x， 例例 5.5.已知( x  2 n) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 x2 解：依题意C n 442:C2 n 14:3 3C n 14C n ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10 设第 r+1 项为常数项，又 T r1  C ( x) r 10 10r 2 r( 2 )r (2)rC 10 x x 105r 2 令 105r  0  r  2， 2 2T 21  C 10 (2)2180.此所求常数项为 180 例例 6 6． 设 当a0 1x1x 1x 23 1xa 0  a 1x  a2 x2 n  a n xn ， a 1 a 2 a n  254 时，求n的值 解：令x 1得： a 0  a 1  a 2  ∴2n  a n  2 2  2  23 2(2n1)  2 254， 21 n 128,n  7 ， f (x)  a 0 (x a)n a 1(x a) n1 a n ，令xa 1,即x a1可得各项系点评：对于 数的和a0 a 1 a 2 a n 的值；令xa  1,即x a1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例例 7 7．．求证：Cn 123 2C n 3C n  n nC n  n2n1． n nC n ① 21 2C n C n 证（法一）倒序相加：设S 又∵S ∵Cn r 123 2C n 3C n C n nC n n(n1)C n n1(n2)C n n2 nr0n1n1 C n ，∴Cn  C n ,C n  C n , ② ， nC n  ， n nC n  n2n1． 由①+②得：2S ∴S 012 nC n C n C n  1 123 2C n 3C n n2n n2n1，即C n 2 （法二） ：左边各组合数的通项为 rC n r r ∴ C n 1 n!n(n1)! r1 nC n1 ， r!(nr)!(r 1)!(nr)! n012nC n  nC n1 C n1 C n2  n1n1 ． C n1   n2 232C n 3C n  10 例例 8 8．．在(2x  3y)的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x 3y中的系数 无关. 解：设(2x  3y)10 r  a0 x10 a1x9y  a 2 x8y2 a10y10(*), 各项系数和即为a0  a1 a10 ,奇数项系数和为 a 0 a 2 a 10 ,偶数项系数和为 a1 a3 a5 a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 a3 a5 a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 a2 a4 a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C10 0110  C10 C10 210. ②令x  y 1,各项系数和为(2  3)10  (1)101. 0210  C10 C10 29, ③奇数项的二项式系数和为C10 偶数项的二项式系数和为C10 ④设(2x  3y) 令x  10 139  C10 C10 29