二项式系数性质练习题答案

例例 1 1．在ab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 n 证 明 在 展 开 式 0n1na bn C n a C na b  rnrrC n ab  nnC n b n N 中 ， 令 0123C n C n C n a 1,b  1，则11n C n n1nC n ， 即0  Cn ∴Cn 0 02C n  13C n C n ， 2C n  13 C n C n  ， 即在ab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明由性质（3）及例 1 知Cn 例例 2 2．．已知1 2x （1）a1 a 2 7 n 02C n  13 C n C n  2n1.  a 0  a 1x  a2 x2 a 7 x7 ，求 a 7 ；（2）a1 a 3 a 5 a 7 ；（3）|a0 ||a 1 | 7 |a 7 | . 解 （1）当x 1时，12x  127  1，展开式右边为 a 0 a 1 a 2  ∴a0 当x a 7 a 7  1， a 7  11 2， a 1 a 2  0时，a 0 1，∴a 1 a 2  a 1 a 2  （2）令x 1， a 0 令x 1，a0 a 7  1 ① a 1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  a 7  37 ② 7 137 ①② 得2a1 a3  a 5  a 7  13 ，∴ a 1 a 3 a 5 a 7  2 （3）由展开式知a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①② 得2a0 .  a 2  a 4  a 6  137 ， ， 137 ∴ a 0 a 2 a 4 a 6  2 ∴|a0 ||a 1 ||a 7 |a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7  a 0  a 2  a 4  a 6 a 1  a 3  a 5  a 7  37 例例 3.3.求1x1x 1x 展开式中 x 的系数 2103 1 x[11 x10] （1 x）  解1 x  1 x  11 x 210 x 111 x 1 ， x ∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347 第二课时第二课时 例例 4.4.在x 3x2 的展开式中，求 x 的系数 25 解∵x 23x  25 x 15x  25 1 ∴在x1 展开式中，常数项为 1，含 x 的项为C5 5 55  5x ， 14 在2x 展开式中，常数项为 2 32，含 x 的项为C52 ∴展开式中含 x 的项为 180 x 5x32 ∴此展开式中 x 的系数为 240 x  80 x  240 x， 例例 5.5.已知 x  2 n 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 x2 解依题意C n 442C2 n 143 3C n 14C n ∴3nn-1n-2n-3/44nn-1/2n10 设第 r1 项为常数项，又 T r1  C x r 10 10r 2 r 2 r 2rC 10 x x 105r 2 令 105r  0  r  2， 2 2T 21  C 10 22180.此所求常数项为 180 例例 6 6． 设 当a0 1x1x 1x 23 1xa 0  a 1x  a2 x2 n  a n xn ， a 1 a 2 a n  254 时，求n的值 解令x 1得 a 0  a 1  a 2  ∴2n  a n  2 2  2  23 22n1  2 254， 21 n 128,n  7 ， f x  a 0 x an a 1x a n1 a n ，令xa 1,即x a1可得各项系点评对于 数的和a0 a 1 a 2 a n 的值；令xa  1,即x a1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例例 7 7．．求证Cn 123 2C n 3C n  n nC n  n2n1． n nC n ① 21 2C n C n 证（法一）倒序相加设S 又∵S ∵Cn r 123 2C n 3C n C n nC n nn1C n n1n2C n n2 nr0n1n1 C n ，∴Cn  C n ,C n  C n , ② ， nC n  ， n nC n  n2n1． 由①②得2S ∴S 012 nC n C n C n  1 123 2C n 3C n n2n n2n1，即C n 2 （法二） 左边各组合数的通项为 rC n r r ∴ C n 1 nnn1 r1 nC n1 ， rnrr 1nr n012nC n  nC n1 C n1 C n2  n1n1 ． C n1   n2 232C n 3C n  10 例例 8 8．．在2x  3y的展开式中,求 ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 分析因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x 3y中的系数 无关. 解设2x  3y10 r  a0 x10 a1x9y  a 2 x8y2 a10y10*, 各项系数和即为a0  a1 a10 ,奇数项系数和为 a 0 a 2 a 10 ,偶数项系数和为 a1 a3 a5 a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 a3 a5 a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 a2 a4 a10. 由于*是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C10 0110  C10 C10 210. ②令x  y 1,各项系数和为2  310  1101. 0210  C10 C10 29, ③奇数项的二项式系数和为C10 偶数项的二项式系数和为C10 ④设2x  3y 令x  10 139  C10 C10 29