直线参数方程教案

精锐教育学科教师辅导讲义精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 ： 学员编号：学员编号：年年级：高三级：高三课课 时时 数：数：3 3 学员姓名：学员姓名：辅导科目：数学辅导科目：数学学科教师：学科教师： 课课题题 授课日期及时段授课日期及时段 直线的参数方程直线的参数方程 1：了解直线参数方程的条件及参数的意义 教学目的教学目的2：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 3：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学内容教学内容 知识点检测；知识点检测； 1、直线  x  tcos x  4 2cos (为参数)与圆(为参数)相切，那么直线的倾斜角为（） y  tsiny  2sin  A．或  6 5 6 B． 325 或 C．或 D．或 443366 x 1t 2、设直线l1的参数方程为（t 为参数） ，直线l 2 的方程为 y=3x+4 则l1与l 2 的距离为_______ y 13t 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。 x 12t, x  s, 3、(2009(2009 广东理广东理) )（坐标系与参数方程选做题）若直线l 1 :（s(t为参数)与直线l 2 : y  2kt.y 12s.  为参数）垂直，则k ． 二：知识点整理二：知识点整理 （1）过定点P(x 0 , y 0 )倾斜角为的直线的 参数方程 x  x 0 tcos  （t为参数） y  y tsin 0  【辨析直线的参数方程辨析直线的参数方程】 ：设 M(x,y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是指从点 P 到点 M 的位 移，可以用有向线段PM数量来表示。带符号. （ 2 ）、 经 过 两 个 定 点Q(x 1, y )， P(x 2, y )( 其 中 12 x x 12 ) 的 直 线 的 参 数 方 程 为 Y L P MN QAB OX { x x1X 2 1 y y y 1 1 2 (为参数， 1) 。其中点 M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数的几何意 QM MP 义与参数方程（1）中的 t 显然不同，它所反映的是动点 M 分有向线段QP的数量比 M 为内分点；当 o且 1时，M 为外分点；当 o时，点 M 与 Q 重合。 。当 o时， 三：经典例题：三：经典例题： 一、求直线上点的坐标一、求直线上点的坐标 例例 1 1．．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是 4， 问小虫 3s 后的位置 Q。 分析：考虑t x=x 0 +at，  的实际意义，可用直线的参数方程(t y =y 0 +bt 是参数)。解：由题意知则直线 PQ  x = 1 − 3t， 的方程是，其中时间 y = 2 + 4t  t是参数，将t=3s 代入得Q（−8，12） 。 例例 2 2．．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y +1 =0 的对称点A 的坐标。  x= −1 − 解：由条件，设直线AA 的参数方程为  y=−2 +  2 t， 13 (t是参数)， 3 t 13 ∵A到直线l的距离d= 510 ，∴t =AA =， 1313 334 ，)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线， 1313 代入直线的参数方程得A (− 求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。 二、求解中点问题二、求解中点问题 例例 3 3．．已知双曲线x− = 1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P 1，P2，求线段 P 1P2 的中点M 2 的轨迹方程。 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。 解：设M(x 0，y0)为轨迹上任一点，则直线  x =x 0 +t cos θ P 1P2 的方程是 y =y 0 +tsin θ 2 y2 ，(t 是参数)，代入双 曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ ) t2 +2(2x 0cosθ −y 0sinθ )t + (2x0 2−y 0 2−2) = 0， 由题意t 1 +t 2=0，即 2x0cosθ −y 0sinθ =0，得tanθ = 2x 0。 y 0 又直线P 1P2 的斜率k = tan θ = y−y 0，点P（2，1）在直线P 1P2 上， x−x 0 1 −y 0 2x 0 ∴ =，即 2x2−y2−4x +y = 0 为所求的轨迹的方程。 2 −x 0 y 0 三、求定点到动点的距离三、求定点到动点的距离 例例 4 4．．直线l过点 于点Q，求PQ。  x =1 −t， P(1，2)，其参数方程为(t y =2 +t  是参数)，直线l与直线 2x+y−2 =0 交 2x =1 − t ， 23 2 解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y−2 =0 得t =， 2 2 y=2 +t   2 3 2。 2 ∴PQ = | t | = 点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数 的标准形式。  例例 5 5．．经过点P(−1，2)，倾斜角为的直线l与圆x2 +y2 = 9 相交于A，B两点，求PA +PB和 4 PA·PB的值。 2 x = −1 + 2 t， 解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t+ 2  y=2 + 2 t 22t−4=0，设点A，B对 应的参数分别是t 1 ，t 2，则 t 1 +t 2 = − 2，t1 ·t 2 = −4，由 t 1 与t 2 的符号相反知PA +PB = |t 1| +|t2| = | t 1 −t 2| = (t 1 +t 2) 2−4 t 1 ·t 2 = 3 2，PA ·PB =| t 1 ·t 2 | = 4。 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 四、求直线与曲线相交弦的长四、求直线与曲线相交弦的长 例例6 6．． 已知抛物线y2= 2px， 过焦点F作倾斜角为θ 的直线交抛物线于A，B两点， 求证：AB= 2p 。 sin2θ p  x = +tcos θ ， 2 分析：弦长AB= |t 1 −t 2|。解：由条件可设 AB的方程为(t是参数)，代入  y = tsin θ 抛物线方程， 2pcos θt +t =， sin θ −p = 0，由韦达定理：，∴AB = |t−t| = p  t·t = − sin θ 122 2 212 122 得t sin θ−2ptcos θ 22 (t 1 −t 2) −4 t1· t 2 = 2 4p2cos2θ4p22p + =。 sin4θsin2θsin2θ 例例 7 7．．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为 60°的直线交椭圆于 A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的