直线的一般式方程教学设计

直线的一般式方程教案直线的一般式方程教案 教材分析：教材分析： （1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形 式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限 制， 但几何特征不明显． 教学中各部分知识之间过渡要自然流畅， 不生硬。 （2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统 一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程 与直线的对应关系，为继续学习学习“曲线方程”打下基础．直线一 般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进 行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这 一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法， 从而培养学生全 面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学 生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点。 （3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的 特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转 化，并加深对各种形式的理解． 教学目标：教学目标： 1、知识与技能： ⑴掌握直线方程的一般式 Ax+By+C=0 的特征 （A、 B 不同时为 0） ⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一 些几何量（斜率、截距等） ； 2、过程与方法： ⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动， 通过观 察、推理、探究获得直线方程的一般式。 ⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点； 3、情感、态度与价值观： 体验数学发现和探索的历程，发展创新意识 教学重点教学重点： 直线方程一般式 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0）的理解 教学难点：教学难点： ⑴直线方程一般式 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0）与二元一次 方程关系的深入理解 ⑵直线方程一般式 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0）的应用。 教学方法教学方法： 引导探究法、讨论法 教学过程：教学过程： 创设情境，引入新课：创设情境，引入新课： 1、 复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出 其局限性： 名几何条件 称 点 斜 点 P(x 0,y0)和斜率 k 斜率存在的直线 方程局限性 y-y 0=k(x-x0) 式 斜 截斜率 k,y 轴上的截距 b 式 两 点P 1(x1,y1),P2(x2,y2) 式 截 距 式 过点(x 0,y0)与 x 轴垂直的直线可表示成 x=x0 ， 过点(x 0,y0)与 y 轴垂直的直线可表示成 y=y0 。 2、 问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是 否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？ 提示： 上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统 一形式？（这些方程都是关于 x、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。 新课探究：新课探究： 在 x 轴上的截距 a,在 y 轴上的截距 b xy 1 ab y=kx+b 斜率存在的直线 不垂直于 x、y 轴 y  y 1 x  x 1 y 2  y 1 x 2  x 1 的直线 不垂直于 x、y 轴 的直线， 不过原点 的直线 问题： （1） ．过点(2,1)，斜率为 2 的直线的方程是__y-1=2(x-2) （2） ．过点(2,1)，斜率为 0 的直线方程是_____y=1______ （3） ．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是______x=2___ 思考 1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0 表示？任意一条直 线是否都可以用二元一次方程 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0）来 表示？ 答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0 在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率 k 存在和 k 不存在两 种情况下，直线方程可分别写为 y  kxb和x  x1两种形式，它们 又都可以变形为 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0）的形式，即：直 线 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0） 【结论： 】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一 次方程 Ax+By+C=0（A、B 不同时为 0）来表示。 思考 2：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B 不同时为 零）能否表示一条直线？ 证明： （1）当 B≠0 时方程可变形为 y  x  （0，-）斜率为-的直线 （2） 当 B=0 时 因为 A，B 不同时为 0 所以 A≠0则有 Ax=-C 即 x=-这表示的是与 x 轴垂直的直线 【结论： 】每个一个二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B 不同 时为零）都表示一条直线。 C A C B A B A B C B 它表示过点 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于 x,y 的二元一次方程表 示, (2)关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线. 1.直线的一般式方程 我们把关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式 注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定： （1） 、一般按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列 （2） 、x 项的系数为正； （3） 、x，y 的系数和常数项一般不出现分数； （4） 、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。 深入探究：深入探究： 二元一次方程 Ax+By+C=0的系数 A,B和常数项 C对直线的位 置的影响: ①平行与 x 轴 A=0 , B≠0 ,C≠0; ②平行与 y 轴 B=0 , A≠0 , C≠0; ③与 x 轴重合 A=0 , B≠0 ,C=0; ④与 y 轴重合 B=0 , A≠0, C=0; ⑤过原点 C=0，A、B 不同时为 0; 例题分析：例题分析： 例 1、已知直线经过点 A（6，-4）斜率为- ，求直线的点斜式 4 3 方程，一般式方程和截距式方程。 解：经过点A（6，-4）斜率为 - 4 的直线的点斜式方程为 3 y+4=- 4 (x-6)化为一般式为 4x+3y-12=0 截距式方程为 1 3 x 3 y 4 说明：在讨论直线问题时，常常将直线方程的形式相互转化。 例 2根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式： 1.经过点 P(3,-2),Q(5,-4); 解：直线的两点式方程为 x+y-1=0 2.在 x 轴,y 轴上的截距分别是 2，3 解 ： 直 线 的 截 距 式 方 程 为 3x+2y-6=0 说明：在遇到问题时，根据条件写出适当形式的方程，然后再化 为一般式。 课时小结：课时小结： 1、关于x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做 直线的一般式方程,简称一般式。 2、 二元一次方程 Ax+By+C=0 的系数 A,B 和常数项 C 对直线的位 置的影响: ①平行与 x 轴 A=0 , B≠0 ,C≠0; ②平行与 y 轴 B=0 , A≠0 , C≠0; ③与 x 轴重合 A=0 , B≠0 ,C=0; ④与 y 轴重合 B=0 , A≠0, C=0; xy 1 23 y (2)x 3   4(2)53 化为一般式方程为 化 为 一