2020年湖南高考理科数学试题及答案

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（共12小题）. 1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ） A．0B．1C．D．2 2．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ） A．﹣4B．﹣2C．2D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A．B．C．D． 4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（ ） A．2B．3C．6D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx 6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ） A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1 7．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（ ） A．B．C．D． 8．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ） A．5B．10C．15D．20 9．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ） A．B．C．D． 10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（ ） A．64πB．48πC．36πD．32π 11．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ） A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为 ． 14．设，为单位向量，且|+|＝1，则|﹣|＝ ． 15．已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 ． 16．如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． （1）求{an}的公比； （2）若a1＝l，求数列{nan}的前n项和． 18．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO． （1）证明：PA⊥平面PBC； （2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值． 19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为． （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率． 20．已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点． 21．已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0． （1）当k＝1时，C1是什么曲线？ （2）当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|． （1）画出y＝f（x）的图象； （2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集． 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ） A．0B．1C．D．2 【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值． 解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2， 则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2， 故选：D． 2．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ） A．﹣4B．﹣2C．2D．4 【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a． 解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}， 由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1， 则a＝﹣2． 故选：B． 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A．B．C．D． 【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论． 解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′， 则依题意有：， 因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝；（负值舍） 故选：C． 4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y