排列组合问题常用方法二十种

解排列组合问题常用方法（二十种） 一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？例1、由0， 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求， 应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三 个数中任选一个共有C 3 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有C 4 种组合；最后 113 排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有A 4 种排列。由分步计数原理得C 3C4 A 4  288。 3 11 变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？ 分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有A 4 种排列，再种其它葵花有A 5 种排列。由 25 分步计数原理得A 4 A 5 1440。 25 二、相邻问题捆绑法 例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？ 分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一 个复 合元素， 再与其它元素 进行排列 ，同时 在两对 相邻元素 内部进行自排 。由分步 计数原理得 522A 5 A 2 A 2  480。 变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。 2 分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有A 5 种排列。 三、相离问题插空法 例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？ 5 分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有A 5 种排列，第二步将4个 舞蹈插入第一步排好后形成的6 个空位中（包含首尾两个空位）共有 A 6 种排列，由分步计数原理得 54A 5 A 6  43200。 变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节 4 目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。 分析： 将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的 6 个空位中 （包含首尾两个空位） 共有A 6 种排列， 由分步计数原理得A 6 30。 2 2 四、定序问题除序（去重复） 、空位、插入法 例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？ 分析： （除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几 个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。 共有不同排法种数为： 7A 7840。 3A 3 （空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A 7 种坐法；甲、乙、丙坐 4 其余的三个位置，共有1种坐法。总共有A 7 840种排法。 4 思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以） （插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有C 7 种选法；余下四个空座位让其余四人 34 就坐，共有A 4 种坐法。总共有C 7 A 4 840种排法。 4 3 变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的 排法？ 分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法； 5 现排成前后两排，因此共有C 10  252种排法。 解排列组合问题常用方法（共 8 页）1 五、平均分组问题倍除法（去重复法） 例5、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？ 222 分析：分三步取书有C 6 C 4 C 2 种分法，但存在重复计数。记6本书为ABCDEF，若第一步取AB， 222 第二步取CD，第三步取EF，该分法记为AB，CD，EF，则在C 6 C 4 C 2 中还有AB，CD，EF、 AB，CD，EF、AB，CD，EF、AB，CD，EF、AB，CD，EF共A 3 3种分法 ，而这些分 22C 6 2C 4 C 2 法仅是AB，CD，EF一种分法。总共应有种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都 3A 3 n 是一种情况，分组后一定要除以A n （n为均分的组数） ，避免重复计数。 变式5①、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？ 544 分析： 分三步。 第一步取5个队为一组， 有C 13 种分法； 余下8个队平均分成两组， 每组4个队， 有C 8 C 4 种分法，但存在重复计数。记8个队为ABCDEFGH，若第二步取ABCD，第三步取EFGH，该分法 2244 记为ABCD，EFGH，则在C 8 种分法，而这A 2 种分法是同一种分C 4 中还有EFGH，ABCD共A 2 4C 8 4C 4 法。总共应有C 种分法。 2A 2 变式5②、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不 5 13 同的分组方法？ 分析：㈠总的分组方法：分三步。第一步取4人为一组，有C 10 种分法；余下6个人平均分成两组， 33 每组3个人， 有C 6 但存在重复计数。 记6个人为ABCDEF， 若第二步取ABC， 第三步取DEF，C 3 种分法， 33 该分法记为ABC，DEF，则在C 6C3 中还有DEF，ABC共A 2 种分法，而这A 2 种分法是同一种分 22 33C 6C3 法。总共应有C   2100种分法。 2A 2 ㈡正、副班长同分在4人一组：分三步。第一步在8人中取2人，加上正、副班长共4人为一 233 组，有C8种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有C 6C3 种分法，但存在重复计数。记6个人 4 10 4 33 为ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF，该分法记为 ABC，DEF，则在 C 6C3 中还有 33C 6C DEF，ABC共A 种分法，而这A种分法是同一种分法。总共应有C  2 3 280种分法。 A 2 2 2 2 2 2 8 ㈢正、副班长同分在3人一组：分三步。第一步在8人中取4人，有C8种分法；第二步在余下 的4人中取3人，有C 4 种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有 3C 8 4C 4  280种分法。 3333C 6C3 2 C 6C3 43 ㈠减㈡减㈢得：总共有C C C 88 C 4  2100280280 1540种分法。 22A 2 A 2 变式5③、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排种数为。 22 分析：分三步。前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组2名学生，有C 4 C 2 种分法，但存在重 4 10 3 4 复计数。记4名学生为ABCD，若第一步取AB，第二步取CD，该分法记为AB，CD，则在C4C2中 22 还有CD，AB共A 2 种分法， 而这A 2 种分法是同一种分法。 第三步将分成的两组分配到6个班级， 有A 6 22 22C 4 C 2 2 种分法。总共应有  A 6 90种分