数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院嘉应学院物理物理系系 《数学物理方法》《数学物理方法》B B课程考试题课程考试题 一、简答题（共一、简答题（共 7070 分）分） 1 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6 6 分）分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。 替换函数在原定义域上与替换前的 函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2 2、奇点分为几类如何判别、奇点分为几类如何判别 （（6 6 分）分） 在挖去孤立奇点 Zo 而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（z）的可去奇点，极 点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数 f(z)的奇点 ； B，把函数在 的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则 为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则 为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为 m 阶奇 点。 3、何谓定解问题的适定性（6 分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问 题的适定性。 4 4、什么是解析函数其特征有哪些（、什么是解析函数其特征有哪些（6 6 分）分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） u x, y C 1 这两曲线族在区域上正交。 vx, y C2 3）ux, y和vx, y都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6 6 分）分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分 方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5 5、写出、写出(x)挑选性的表达式（挑选性的表达式（6 6 分）分）    fxx  x 0 dx  fx 0       fxxdx  f0     f (r)(r  R )dv  f (R 00 )   6 6、写出复数、写出复数 1i 3 的三角形式和指数形式（的三角形式和指数形式（8 8 分）分） 2 cosisin 13 i 22 三角形式：2sin2 cos2 1i 3  cosisin 233 指数形式：由三角形式得： 7 7、求函数、求函数 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点：z=2 z 在奇点的留数（在奇点的留数（8 8 分）分） 2(z 1)(z  2)   3 i 3 1 z  e z Resf (1)  lim(z 1)1 2  z1 (z 1)(z 2)  Resf \(2)  lim 1 d z21! dz 1z 2(z 2) lim 1  2  2  z2 (z 1)(z 2) (z 1) cos z dz （（8 8 分）分）8 8、求回路积分、求回路积分  z 1 3z 解：f (z)有三阶奇点 z=0（在积分路径内） Resf \(0) 1 d2  lim z02!dz 2 1 3 cosz  z lim cosz  - 3  z0 2z  1 原积分=2iResf (0)  2i()  i 2 9 9、计算实变函数定积分、计算实变函数定积分    x21dx （（8 8 分）分） 4x 1 z21z21 解：f (z)  4z 1  2222 (1i)z (1i)z (1i)z (1i) z  2222  它具有 4 个单极点：只有 z= 22 (1i)和 z=(1i)在上半平面，其留数分别为： 22 Resf \( 2 (1i)) 2   2z 11   lim z0   2 2i222 z  (1i)z (1i)z (1i) 222      2z 11  Resf 2  lim  z0 \((1i)) 2 2i 2 z  2 (1i)z  2 (1i)z  2 (1i) 222    11 I  2i() 2 2 2i2 2i 1 k(z i) 1010、求幂级数、求幂级数  的收敛半径（的收敛半径（8 8 分）分） k k1 1 ak 1 R  limk lim k  lim1 kakk 1 k k1 k 1 所以收敛圆为z i 1  二、计算题（共二、计算题（共 3030 分）分） 1 1、试用分离变数法求解定解问题（、试用分离变数法求解定解问题（1414 分）分） u tt  a2u xx  00  x  l,t  0  u  u x xl  0  x x0   u t0  x 1/2,u t t0  0 令u(x,t)  X(x)T(t)，并代入方程得 XT  a2X T  0  TX X (0)T(t)  0  移项 2  a TX X (l)T(t)  0  X X  0  X (0)  0 和T  a2T  0  X (l)  0  在＜0时，方程的解为：X(x)  C 1e xC 2e x 在 0时，方程的解为：X(x)  C 1x C2 在＞0时，方程的解为：X(x)  C 1 cosx C 2 sinx 由边界条件X (0)  0，X (l)  0得： ＜0时，X(x)  0  0时，Xx( C ＞0时，X (x)  C 1 cosx C 2 sinx X (0)  C 2  0 0，C 2  0 X (l)  C 1 cosl C 2 sinl  0 C 1  （否则方程无解），0sinl  0 n22 l  n 2l X(x)  C 1 cos n x l n22 把 0和 2 代人T的方程T  a2T  0得： l T 0 (t)  A 0  B 0t  2,3) natnat (n 1， T n (t)  A n cos B n sin  ll U(x,t)  A 0  B 0t  (An cos n1 natnatn  B n sin)cosx ll